芝罘区数学新课标人教a版高中数学知识点总结专题8之统计

《芝罘区数学新课标人教a版高中数学知识点总结专题8之统计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《芝罘区数学新课标人教a版高中数学知识点总结专题8之统计（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、【芝罘区数学】高考数学专题八【芝罘区数学】高考数学专题八壹专题八之统计专题八之统计【知识概要知识概要】 一、抽样方法一、抽样方法 1. 简单随机抽样设一个总体的总数为 N，若通过逐个抽取的方法从总 体中抽取一个样本，且每次抽取时，各个个体被抽到的概率相等，这样的抽样方 法叫简单随机抽样。 特点：不放回抽样；逐个抽取；被抽取的样本的总数是有限的。 主要方法：抽签法；随机数表法。 2. 系统抽样将总体平均分成几个部分，然后按照预先定出的规则，从 每个部分中抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样方法叫简单系统抽样。 特点：等概率抽样；等距离（或按预先定出的规则）抽样；不放回抽样。 系统抽样的步骤：

2、 采用随机的方式将总体中的个体编号；将整个的编号按一定的间隔(设为 k)，当N n（N 为总体中的个体数，n 为样本容量）是整数时，;Nkn当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数1N能被 n 整除，这时1Nkn，并将剩下的总体重新编号；在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体标号 l；将编号为,2 ,(1)l l k lklnkL的个体抽出。3. 分层抽样当总体由差异明显的几个部分组成时， 将总体中的个体按 不同的特点分成层次比较分明的几部分， 然后按各部分在总体中所占的比进行抽 样，这样的抽样方法叫分层抽样。特点：每层抽取的样本数每层的个数所要抽取的总体数总体样本个

3、数；等概率抽样；不放回抽样。 分层抽样的步骤： 将总体按一定标准分层； 计算各层的个数与总体的个数的比； 按各层个数占总体的个数的比确定各层应抽取的样本容量； 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)。 二、总体分布的估计和总体特征数的估计二、总体分布的估计和总体特征数的估计 1. 频率分布表的有关概念 （1）频数: 在一组数据中，某范围内的数据出现的次数； （2）频率: 频数除以数据的总个数； （3）全距: 数据中最大与最小值的差；（4）组距全距 组数；（5）分组要求:通常对组内数值所在区间取左开右闭区间，最后一组取闭区 间，并且使分点比数据多一位小数。【芝罘区数学】高考数学专题八【芝

4、罘区数学】高考数学专题八贰2. 频率分布直方图 具体做法如下： （1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） ； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图： 横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值； 以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形； 图中每个矩形的面积等于相应组的频率，即：频率组距 频率组距； 各组频率的和等于 1，即各小矩形的面积的和等于 1。 3. 频率分布折线图：将频率分布直方图中，取各相邻矩形的上底边中点顺 次连接，再将矩形的边去掉，就得到频率分布折线图。 4. 密度曲线：当样本容量取得足够大，分组的组距取得

5、足够小，则这条折 线就越接近于一条光滑的曲线，这条光滑的曲线称为总体密度曲线。 5. 中位数：将数据按从小到大或从大到小排列，处在中间位置上的一个数 据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 6. 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；众数不一 定是唯一的。 7. 平均数计算的方法：（1）简单平均数12nxxxxnL；（2）离散型平均数计算：12,nx xxL所发生的频率分别为12,np ppL，则平均数为1122nnx px px pL；（3）区间型平均数计算:12231 ,),),nna aa aa aL所发生的频率分别为12,npppL，则平均数为23112 1

6、2.222nn naaaaaaPPP8. 方差：2211()ni isxxn9. 标准差：211()ni isxxn三、统计案例三、统计案例【芝罘区数学】高考数学专题八【芝罘区数学】高考数学专题八叁背景独立性检验线性回归分析抽取样本抽取样本提出统计假设提出统计假设运用2检验运用 r 检验作出统计推断1. 回归分析 回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系叫相关关系或回归关系。 对具有相关关系的两个变量 进行统计分析的方法叫回归分析。线性回归方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在某一条直线的附近，就可以认为

7、y对x的回归函数的类型为直线型： y a bx ，我们称这个方程为y对x的线性回归方程。（1）设两个具有线性相关的一组数据为： 1122,nnx yx yx yL则线性回归方程为： y bx a其中111 2 211nnniiii iii nnii iinx yxy bnxx ，ay bx , x y分别为12,nx xxL，12,ny yyL的算术平均数。（2）特点：线性回归方程过点( ,)x y；2. 相关系数 对于变量 y 与 x 的一组观测值，把112222221111()()()()()()nniiii ii nnnniiii iiiixxyyx ynx y rxxyyxnxyny

8、叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它衡量两个变量之间的线性相关程度。相关系数的性质：| | r1，且| | r越接近 1，相关程度越大；| | r越接近 0，相关程度越小。 3 独立性检验 独立性检验是对两种分类变量之间是否有关系进行检验。 独立性检验的必要性：22 列联表中的数据是样本数据，它只是总体的 代表， 具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用【芝罘区数学】高考数学专题八【芝罘区数学】高考数学专题八肆于总体。 独立性检验的原理（与反证法类似） ： 反证法假设检验 要证明结论 A备择假设 H在 A 不成立的前提下进行推理在 H 不成立的条件下，

9、即 H 成立的条件 下进行推理推出矛盾，意味着结论 A 成立推出有利于 H 成立的小概率事件（概率 不超过的事件）发生，意味着 H 成立 的可能性（可能性为（1） ）很大 没有找到矛盾，不能对 A 下任 何结论，即反证法不成功推出有利于 H 成立的小概率事件不发 生，接受原假设 独立性检验的步骤 第一步：提出假设检验问题； 第二步：选择检验的指标（卡方检验） ；（它越小，原假设“H ：成立的可能性越大” ；它越大，备择假设“H ：成立的可能性越大” 。 第三步：查表得出结论。 P()0.500.400.250.150.100.050.02 50.01 00.00 50.00 1 0.45 50

10、.70 81.32 32.07 22.70 63.84 15.02 46.63 57.87 910.8 3 如：当时，有 95%的把握说两事件有关；时，有 99%的把 握说两事件有关；如果，没有充分的证据显示两事件有关。 四、计数原理与二项式定理四、计数原理与二项式定理 1. 两个原理.两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列.从 m 个不同元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排 成一排，那么第一、第二第 n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从 m 个不 同元素中，每次取出 n 个元素可重复排列数 mm m = mn 例如：n 件物品放入

11、 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：种）2.排列.排列. 1. 对排列定义的理解. 定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也 必须完全相同.【芝罘区数学】高考数学专题八【芝罘区数学】高考数学专题八伍排列数. 从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号表示. 排列数公式：注意：规定 0! = 1规定2. 含有可重元素的排列问题

12、.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a2,.an 其中限重复数为 n1、n2nk，且 n = n1+n2+nk, 则 S 的排列个数等于.例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数.3.组合.组合. 1. 组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式：两个公式：从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素， 因此从 n 个不同元素中 取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素 中取出 n-m

13、个元素的唯一的一个组合.。 （或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个 白球一个红球，任取 m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时，对 于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以有 C，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m 个元素，所以共有 C 种，依分类原理有.排列与组合的联系与区别. 联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.【芝罘区数学】高考数学专题八【芝罘区数学】高考数学专题八陆区别：前者是“排成一排

14、” ，后者是“并成一组” ，前者有顺序关系，后者无顺序 关系. 几个常用组合数公式常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：（利用）ii. 导数法.iii. 数学归纳法.iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用递推）如：.vi. 构造二项式. 如：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边4.排列、组合综合.排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： 直接法.排除法. 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体 排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题” ，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相

15、邻的排列有个.其中是一个“整体排列” ，而则是“局部排列”.又例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为.有 n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有.有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有.注：区别在于是确定的座位，有种；而的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的 2 个，有不确定性. 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档 中，此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法） ，当 n m+1m, 即 m时有意义.【芝罘区数学】高考数学专题八【芝罘区数学】高考数学专题八柒占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其 他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排 其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. 调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：