《江西省宜春市高中数学（理）学案： 数学归纳法 选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江西省宜春市高中数学（理）学案： 数学归纳法 选修2-2（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 学习目标：学习目标：了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。掌握数学归纳法证明问题的方法。能用 数学归纳法证明一些简单的数学命题。 学习重点：学习重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。学习难点：学习难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。学习过程：学习过程：1、预习预习导导航，要点指津航，要点指津（约 3 分钟）多米诺骨牌游戏：在平整的地面上竖立着很多骨牌，任何两块骨牌之间有恰当的距离时，笫一块骨牌倒下，就会使笫二块倒下，第二块倒下就会导致笫三块倒下， ，已致所有骨牌倒下。分析：多米诺骨牌游戏.成功的两个条
2、件： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。问题：对于任意正整数，等式是否成立？n22221123(1)(21)6nn nn答：该等式对任意正整数 n 都成立，请你阅读下列证明方法：请你阅读下列证明方法：（1）当时, 左边, 右边 ,即等式成立.1n 21111 (1 1)(2 1 1)16 （2）假设时等式成立, 即成立()nk kN22221123(1)(21)6kk kk当时，左边1nk22222112(1)(1)(21)(1)6kkk kkk11(1) (21)6(1)(1)(2)(23)66kkkkkkk右边1(1)(1)12(1)16kkk
3、即时，等式也成立1nk由（1） （2）两步可知对任意正整数，等式成立。n22221123(1)(21)6nn nn上面这种证明方法叫作数学归纳法数学归纳法。 你理解了这种证明的方法吗？你理解了这种证明的方法吗？对于与正整数有关的数学命题，怎样证明它们对每一个正整数都正确呢？对这类问题的证明方法不止一nn种，其中数学归纳法是证明这类问题的一种通用方法。 。二、自主探索，独立二、自主探索，独立思思考考（约 10 分钟）1. 数学归纳法：数学归纳法是用来证明某些与_正整数正整数 n_有关的数学命题的一种方法.3. 2._ 验证_时, 命题成立.数学归纳法证明步骤在假设当时命题成立的前提下, 推出n=
4、k+1时, 命题也成立.由此可知对从第1个开始的所有的_, 命题都成立.用数学归纳法证等式成立222 *12(1),()1 33 5(21)(21)2(21)nn nnNnnn证明：（1）当时,左边, 右边, 即等式成立.1n 211 1 331 (1 1)1 2(2 1 1)3 （2）假设时等式成立, ()nk kN222 *12(1),()1 33 5(21)(21)2(21)kk kkNkkk高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当时，1nk22222 *12(1)(1)(1),()1 33 5(21)(21)(21)(23)2(21)(21)(23)kk
5、k kkkNkkkkkkk， 即时等式也成立.22(1)(1)(23)(1)(21)(2) 2(21)(23)2(21)(23)kk kkkkk kkkk(1)(2) 2(23)kk k1nk由（1） （2）两步可知对任意正整数，等式成立n222 *12(1),()1 33 5(21)(21)2(21)nn nnNnnn4. 已知数列满足，求出的值，并由此归纳出此数列的通项公式，并用数na11a 11n n naaa234,a a a学归纳法证明你的归纳是正确的。解：，由此可归纳出. 下面用用数学归纳法证明此公式成立12341111,234aaaa1nan(1) 当时,由上面可知公式成立, 1
6、n (2) 假设时公式成立, 即()nk kN1kak当时, ，即时，公式也成立。1nk11 1 1111k k kakaak k1nk由（1） （2）两步可知对任意正整数，都成立n1nan5. 对一切大于 1 的正整数，求证不等式均成立.11121(1)(1)(1)35212n n请阅读下列的下面的证明方法，这种方法是不是数学归纳法？请阅读下列的下面的证明方法，这种方法是不是数学归纳法？证明:（1）当时，左边，右边，可知，故不等式成立。2n 14133 5 245 32（2）假设时公式成立, 不等式成立，即(2)nk kNk且11121(1)(1)(1)35212k k当时，1nk11112
7、11(1)(1)(1)(1)(1)352121221k kkk21(22) 2(21)kk k22(22)224842 212 212 21kkkkkkk248323 22 21kkkk即时不等式也成立.1nk由（1） （2）两步可知对一切大于 1 的正整数，不等式都成立n11121(1)(1)(1)35212n n三、小组合作探究，三、小组合作探究，议议疑解惑疑解惑（约 5 分钟）各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。四、四、展展示你的收获示你的收获（约 8 分钟）由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方法
8、、知识技巧。 （即学习成果）五、重、难、疑点五、重、难、疑点评评析析（约 5 分钟）由教师归纳总结点评六、达标六、达标检检测（测（约 8 分钟）高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 1. 利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该2 2111(1,)1n naaaaanNa 1n 是( C )A 1 B C D 1a21aa231aaa2. 用数学归纳法证明 123n2，则当 nk1 时左端应在 nk 的基础上加上( D )n4n22Ak21 B(k1)2 C. D(k21)(k22)(k1)2k14k122 3. 某个命题与正整数 n 有关，若 nk(k
9、N*)时该命题成立，那么可推得当 nk1 时该命题也成立，现已 知当 n5 时该命题不成立，那么可推得( C. ) A当 n6 时该命题不成立 B当 n6 时该命题成立 C当 n4 时该命题不成立 D当 n4 时该命题成立4. 设 f(n)(nN*)，那么 f(n1)f(n)_.1n11n212n11 2122nn5. 用数学归纳法证明下面的等式 12223242(1)n1n21(1)( 1)2nn n证明 (1)当 n1 时，左边121， 右边， 原等式成立01 (1 1)( 1)12(2)假设 nk(kN*，k1)时，等式成立，即有2222121(1)1234( 1)( 1)2kkk kk
10、 那么，当 nk1 时，则有22221221234( 1)( 1) (1)kkkk 12(1)( 1)( 1) (1)2kkk kk nk1 时，等式也成立， 由(1)1(1)(2)( 1)2(1)( 1)22kkkkkkk (2)得对任意 nN*有 12223242(1)n1n21(1)( 1)2nn n6数列an 满足 Sn2nan(nN*)(1)用的表示，计算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通项 an 的表达式；na1na(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想请同学自己阅读下面的解题方法，掌握归纳、猜想、并用数学归纳法证明这种解题方法请同学自己阅读下面的解题方法，掌握归纳、猜想、并用
11、数学归纳法证明这种解题方法解：(1)因为 Sn2nan(nN*)， 112(1)nnSna所以1112(1)(2)nnnnnaSSnana1112nnaa在 Sn2nan(nN*)中，令可求得 a11，从而可求得 a2 ， a3 ，a4，1n 3274158由此猜想 121()2nnnanN (2)证明：当 n1 时，a11, 结论成立高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 假设 nk(kN*)时，结论成立， 即，121 2kkka那么 nk1(kN*)时，1112kkaa1121211222kkkk 这表明 nk1 时，结论成立由此可知猜想对任何nN*都成立12
12、1 2nnna七、课后练习七、课后练习1.如果命题 P(n)对 nk 成立，则它对 nk2 也成立，若 P(n)对 n2 成立，则下列结论正确的是( B )A P(n)对所有正整数 n 都成立 BP(n)对所有正偶数 n 都成立CP(n)对所有正奇数 n 都成立 DP(n)对所有自然数 n 都成立2. 利用数学归纳法证明不等式 1 0， ，即当 nk1 时，不等式成立2ak1akak11ak112kkaa 由可知不等式 anan1对于任意 nN*成立 9. 是否存在常数 a、b、c 使等式 122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切 nN*都成 立，若存在，求出 a、b、c 并
13、证明；若不存在，试说明理由 解析 假设存在 a、b、c 使 122232n2(n1)22212an(bn2c)对于一切 nN*都成立 当 n1 时，a(bc)1； 当 n2 时，2a(4bc)6； 当 n3 时，3a(9bc)19. 解方程组Error! 解得Error! 证明如下： 当 n1 时，由以上知存在常数 a，b，c 使等式成立假设 nk(kN*)时等式成立， 即 122232k2(k1)22212 k(2k21)；13 当 nk1 时， 122232k2(k1)2k2(k1)22212 k(2k21)(k1)2k2 k(2k23k1)(k1)2 k(2k1)(k1)(k1)2131313 (k1)(2k24k3)13 (k1)2(k1)21即 nk1 时，等式成立13因此存在 a ，b2，c1 使等式对一切 nN*都成立 13
