全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)

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1、1第一届全国大学生数学竞赛预赛试题第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）1计算_ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. yxyxxyyxDdd1)1ln()( D1 yx2设是连续函数，且满足, 则_.)(xf2022d)(3)(xxfxxf)(xf3曲面平行平面的切平面方程是_.2222 yxz022zyx4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_.)(xyy 29ln)(yyfexef1 f22dd xy二、 （5 分）求极限，其中是给定的正整数.xenxxxxneee)(lim20n三、 （15 分）设函数连续，且，为常数，求并讨论)(xf

2、10d)()(txtfxgAxxfx )(lim 0A)(xg在处的连续性.)(xg0x四、 （15 分）已知平面区域，为的正向边界，试证：0,0| ),(yxyxDLD（1）； （2）.LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin2sinsin 25ddLyyxyeyxe五、 （10 分）已知，是某二阶常系数线性非齐次微分xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3方程的三个解，试求此微分方程.六、 （10 分）设抛物线过原点.当时,又已知该抛物线与轴及直线cbxaxyln2210 x0yx所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小

3、.1x31cba,x七、 （15 分）已知满足, 且, 求函数项级数之)(xun), 2 , 1()()(1nexxuxuxn nnneun) 1 (1)(nnxu和. 八、 （10 分）求时, 与等价的无穷大量.1x02nnx2第二届全国大学生数学竞赛预赛试题第二届全国大学生数学竞赛预赛试题一、 （25 分，每小题 5 分）（1）设其中求 （2）求。22(1)(1)(1),nnxaaa| 1,a lim.nnx 21lim1x xxex（3）设，求。0s 0(1,2,)sxnIex dx n（4）设函数有二阶连续导数，求。( )f t221, ( , )rxyg x yfr2222gg xy

4、（5）求直线与直线的距离。10:0xylz 2213:421xyzl二、 （15 分）设函数在上具有二阶导数，并且( )f x(,) 且存在一点，使得,证明：方程在( )0, lim( )0, lim( )0, xxfxfxfx 0x0()0f x( )0f x 恰有两个实根。(,) 三、 （15 分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线( )yf x22(1)( )xtttyt ( ) t与在出相切，求函数。( )yt2213 2tuyedue1t ( ) t四、 （15 分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且10,nnnk kaSa11nnna S1时，级数发散。()ns

5、n 1nnna S五、 （15 分）设 是过原点、方向为， （其中的直线，均匀椭球l( , ) 2221)，其中（密度为 1）绕 旋转。 （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量2222221xyz abc0,cbal关于方向的最大值和最小值。( , ) 六、(15 分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分( )xC的值为常数。 （1）设为正向闭曲线证明 422( )cxydxx dy xy AL22(2)1,xy422( )0;cxydxx dy xy A3（2）求函数；（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。( )xC422( )cxydxx dy xy A

6、4第三届全国大学生数学竞赛预赛试题第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一计算下列各题（共 3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）（1）.求； （2）.求；1 1 cos0sinlimxxx x111lim.12nnnnn（3）已知，求。2ln 1arctanttxeyte 22d y dx二 （10 分）求方程的通解。2410xydxxydy三 （15 分）设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为 “0 ,0 ,0fff0，证明：存在唯一一组实数，使得。123,k k k 123 20230lim0 hk f hk fhk fhfh四 （17 分）设，其中，为与2221

7、222:1xyz abc0abc222 2: zxy1的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。21五 （16 分）已知 S 是空间曲线绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取22310xyz0z 上侧，是 S 在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示, ,P x y z, ,x y z, , S 的正法向的方向余弦。计算：（1）；（2）, ,SzdSx y z3Szxyz dS六 （12 分）设 f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取, fxmf x、01m实数，定义证明：绝对收敛。0a1ln,1,2,.,nnaf an1 1nn naa 七 （15 分）是否存在区间

8、上的连续可微函数 f(x)，满足，0,2 021ff？请说明理由。 201,1fxf x dx、5第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一.每题 6 分共 30 分1.求极限； 2.求极限；21 ) !(limnnndttttxxxx13 cossinlim3.求通过直线的两个相互垂直的平面，是其中一个平面过点（） ； 03455032:zyxzyxL21,1 , 3, 4 4.已知函数，且，确定常数和，使函数满足方程byaxeyxuz),(02 yxuab),(yxzz ；02 zxz xz yxz5.设函数连续可微，且在右半平面上与路径无关，求)(xuu 1)2(

9、uudyuxudxyxL)()2(3；)(xu二.（10 分）计算；dxxex02|sin|三.（10 分）求方程的近似解，精确到；50121sin2xxx001. 0四.（12 分）设函数二阶可导，且，求，其中)(xfy 0)0(, 0)0(, 0)( ffxfuxfufxx330sin)()(lim 是曲线上点处切线在轴上的截距；u)(xfy )(,(xfxPx五.（12 分）求最小实数，使得对满足的连续的函数，都有；C1| )(|10dxxf)(xfCdxxf10)(六.（12 分）设为连续函数，区域是由抛物面和球面所围)(xf0t22yxz2222tzyx起来的上半部分，定义三重积分，

10、求；dvzyxftF )()(222)(tF七.（14 分）设与为正项级数那么（1）若，则收敛；（1）若1nna1nnb0)1(1limnbnnnbaan1nna6，则若发散，收敛。0)1(1limnbnnnbaan1nnb1nna7第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、解答下列各题（每小题 6 分共 24 分）1.求极限. 2.证明广义积分不是绝对收敛的2lim 1 sin14nnn 0sin xdxx 3.设函数由确定，求的极值。 yy x323322xx yy y x4.过曲线上的点 A 作切线，使该切线与曲线及轴所围成的平面图形的面积为，30yx xx3

11、4 求点 A 的坐标。二、 （12 分）计算定积分2sinarctan 1 cosxxxeIdxx三、 （12 分）设在处存在二阶导数，且。证明 ：级数收敛。 f x0x 0f 0lim0 xf x x11nfn四、 （12 分）设，证明 ,0f xfxaxb 2sinbaf x dxm五、 （14 分）设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分 I 的值最小，并求该最小值。33323Ixx dydzyy dzdxzz dxdy六、 （14 分）设，其中为常数，曲线 C 为椭圆，取正向。求极 22aa CydxxdyIr xy Aa222xxyyr限 limarI

12、r 七（14 分）判断级数的敛散性，若收敛，求其和。11112 12nn nn8第六届全国大学生数学竞赛预赛试题第六届全国大学生数学竞赛预赛试题一 填空题(共有 5 小题，每题 6 分，共 30 分)1.已知和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是_ xey 1xxey 12.设有曲面和平面。则与平行的的切平面方程是_222:yxzS022:zyxLLS3.设函数由方程所确定。求_)(xyy xydttx 12 4sin0xdxdy4.设。则_ 5.已知。则_ nknkkx1)!1( nnxlim310)(1limexxfxxx 20)(limxxfx二 （12 分）设为正整数，计算。n

13、121lncosnedxxdxdI三 （14 分）设函数在上有二阶导数，且有正常数使得。证明：)(xf 1 , 0BA,|( )|“( )|f xAfxB，对任意，有。 1 , 0x22| )( |BAxf四 （14 分） （1）设一球缺高为，所在球半径为。证明该球缺体积为。球冠面积为hR2)3(3hhR ；（2）设球体被平面所截得小球缺为，记球冠Rh212) 1() 1() 1(222zyx6:zyxP为，方向指向球外。求第二型曲面积分 zdxdyydzdxxdydzI五 （15 分）设在上非负连续，严格单增，且存在，使得。f,ba,baxnbann ndxxfabxf)(1)(求nnx lim六 （15 分）设。求2222221nnn nn nnAn nnAn4lim9第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）（1）极限 .2222sinsinsinlim12nnnnnnnn （2）设函数由方程所决定，其中具有连续偏导数，且,zz x y,0zzF xyyx