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1、10.2 排列,2006年4月6日,引例,问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?,第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人有3种方法;,第2步,确定参加下午活动的同学,只能从余下的2人中选,有2种方法,根据分步计数原理,共有:326 种不同的方法,解决这个问题,需分2个步骤:,引例,问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?,问题2 从a、b、c、d这四个字母中,取出3个按照顺序排成一列,共有多少种不同的挑法
2、?,引例,根据分步计数原理,共有:43224种不同的排法,解决这个问题,需分3个步骤:,第1步,先确定左边的字母,在4个字母中任取1个,有4种方法;,第2步,确定中间的字母,从余下的3个字母中去取,有3种方法;,第3步,确定右边的字母,只能从余下的2个字母中去取,有2种方法,问题2 从a、b、c、d这四个字母中,取出3个按照顺序排成一列,共有多少种不同的挑法?,引例,由此可以写出所有的排列: abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb,一般地,从n
3、个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,排列的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列”“一定顺序”就是与位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志,根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同,排列定义,如果两个排列所含的元素不完全一样,那么就可以肯定是不同的排列;如果两个排列所含的元素完全一样,但摆的顺序不同,那么也是不同的排列,例题 写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列,解:所有排列是:ab ac bc ba ca cb,例题,北京、
4、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的机票?试写出所有情况,起点站,终点站,飞机票,北京,上海,广州,上海,广州,北京,广州,北京,上海,北京,上海,北京,广州,上海,北京,上海,广州,广州,北京,广州,上海,讨论题,由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?,讨论题,点击图片进入flash动画演示,点击空白处进入幻灯片演示,跳过下一页,由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数?,1,1 2,1 4,1 3,1 2 3,1 2 4,1 3 2,1 3 4,1 4 2,1 4 3,3,3 1,3 2,3 4,3 1 2,3 1 4,3 2 1,3 2
5、 4,3 4 1,3 4 2,2,2 1,2 3,2 4,2 1 3,2 1 4,2 3 1,2 3 4,2 4 1,2 4 3,4,4 1,4 2,4 3,4 1 2,4 1 3,4 2 1,4 2 3,4 3 1,4 3 2,讨论题,练习1下列问题中哪些是排列问题?如果是在题后括号内打“”,否则打“”,牛刀小试,(1)20位同学互通一封信,问共通多少封信? ( )(2)20位同学互通一次电话,问共通多少次? ( )(3)20位同学互相握一次手,问共握手多少次? ( )(4)从e,5,7,10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数,问共有几种不同的对数值? ( )(5)以圆上的10个点为
6、端点,共可作多少条弦? ( )(6)以圆上的10个点为起点,且过其中另一个点的射线共可作多少条? ( ),从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作,注意区别“一个排列”与“排列数”的不同:“一个排列”是指“从n个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列”,不是数;“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”,是一个数因此符号只代表排列数,而不表示具体的排列,排列数的定义,排列数公式的推导,求排列数 :假定有排好顺序的m个空位,从n 个不同元素 中任意取m个去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就对应一个排列,因
7、此,所有的不同填法的种数就是排列数 。,第1位 第2位 第3位 第m位,n n-1 n-2 n-m+1,排列数公式,这里m、n 且mn,这个公式叫做排列数公式它有以下三个特点: (1)第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1 (2)最后一个因数是nm1 (3)共有m个因数,正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n! 表示。,当m=n时,练习2在A、B、C、D四位候选人中,选举正、副班长各一人,共有几种不同的选法?写出所有可能的选举结果,练习,解:选举过程可以分为两个步骤第1步选正班长,4人中任何一人可以当选,有4种选法; 第2步选副班长,余下的3人中任一人都可以当选,有3种选法根据分步计数原理,不同的选法有:4 312(种),其选举结果是:AB AC AD BC BD CDBA CA DA CB DB DC,排列问题,是取出m个元素后,还要按一定的顺序排成一列,取出同样的m个元素,只要排列顺序不同,就视为完成这件事的两种不同的方法(两个不同的排列),小结,由排列的定义可知,排列与元素的顺序有关,也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时,可以根据排列的意义写出所有的排列,