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1、 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差【学习目标学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望要点一、离散型随机变量的期望1 1. .定定义义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2xixP1p2pip则称E11px22pxnnpx 为的均值或数学期望，简称期望要点诠释：要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要
2、特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令1p2pnp，则有1p2pnpn1，E1(x2xnxn1)，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2 2性性质质：()EEE；若ba(a、b 是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有baEbaE)(；baEbaE)(的推导过程如下：的分布列为1x2xixbax 1bax 2iaxbP1P2PiP于是E11)(pbax22)(pbax()iiaxb p11(pxa22pxiix p)1(pb2pip)baEbaEbaE)(。要点二要点二：离散型随机变量的
3、方差与标准差离散型随机变量的方差与标准差1.1.一组数据的方差的概念：一组数据的方差的概念：已知一组数据1x，2x，nx，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数12 nS2 1)(xx 2 2)(xx )(2xxn叫做这组数据的方差。2.2.离离散散型型随机变量的方差：随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为1x2xixP1p2pip则称D12 1)(pEx22 2)(pEx2()nixEp称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差
4、也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值） 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.3.期望和方差的关系：期望和方差的关系：22()()DEE4.4.方差的性质：方差的性质：若ba(a、b 是常数)，是随机变量，则也是随机变量，2()DD aba D；要点三：常见分布的期望与方差要点三：常见分布的期望与方差1 1、二点分布：、二点分布：若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则期望Ep方差(1).Dpp证明：(0)Pq,(1)Pp,01p,1pq01Eqpp 22(0)(1
5、)(1).Dpqpppp2 2、二项分布：、二项分布：若离散型随机变量服从参数为, n p的二项分布，即(),B nP，则期望EnP方差(1-)Dnpp期望公式证明：knkk nknkk nqpCppCkP)1 ()(，001112220012nnnkkn knn nnnnnEC p qC p qC p qkC p qn C p q ，又1 1)!1() 1()!1()!1( )!( ! k nk nnCknknn knknkkC，E(np001 1n nCp q 211 1 n nqpC)1()1(11 1 knkk nqpC)011 1qpCnn n npqpnpn1)(3 3、几何分布、
6、几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且1()(1)kPkpp ，0,1,2,3, ,kn，称离散型随机变量服从几何分布，记作：()()PkkP g ，。若离散型随机变量服从几何分布，且()()PkkP g ，则期望1.Ep方差21- pDp要点诠释：要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4 4、超几何分布：、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为,N M n的超几何分布，则期望( )nMEN要点四：要点四：离离散散型型随随机机变变量量的的期望与方差的求法及应用期望与方差的求法及
7、应用1 1、求离散型随机变量、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；1x2xixP1p2pip根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：1122nnEx px px p 222 1122nnDxEpxEpxEp D .注意：常见分布列的期望和方差， 不必写出分布列，直接用公式计算即可2.2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与
8、离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比较1E和2E的大小。1E和2E相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较1D和2D，方差值大时，则表明 比较离散，反之，则表明 比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题典型例题】类型一、离散型随机变量的期望类型一、离散型随机变量的期望例例 1 1某射手射击所得环数 的分布列如下：78910Px0.10.3y已知 的期望 E8.9，则 y 的值为_【思路点拨】分布列中含有字母 x、y,应先根据分布列的性质，求出
9、x、y 的值，再利用期望的定义求解；【解析】x0.10.3y1，即 xy0.6.又 7x0.82.710y8.9，化简得 7x10y5.4.由联立解得 x0.2，y0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：举一反三：【变式 1】某一离散型随机变量 的概率分布如下，且 E（）=1.5，则 ab 为（ ） 0123P0.1ab0.1A0.1 B0 C0.1 D0.2【答案】B由分布列的性质知：0.1+a+b+0.1=1，a+b=0.8又 E（）=00.1+1a+2b+30.1=1.5，即 a+2b=1.2解得 a=0.4，b=0.4
10、，ab=0【变式 2】随机变量 的分布列为024P0.40.30.3，则 E(54)等于( )A13 B11 C2.2 D2.3【答案】A由已知得：E()00.420.340.31.8，E(54)5E()451.8413.【变式 3】节日期间，某种鲜花进货价是每束 2.5 元，销售价每束 5 元；节后卖不出去的鲜花以每束 1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花 500 束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15A.706 元 B690 元C754 元 D720 元【答案】A节日期间预售的量：E2000.
11、23000.354000.35000.154010512075340(束)，则期望的利润：51.6(500)5002.53.4450，E3.4E4503.4340450706.期望利润为 706 元【变式 4】设离散型随机变量的可能取值为 1，2，3，4，且()Pkakb（1,2,3,4k ），3E，则ab ；【答案】0.1；由分布列的概率和为 1，有()(2)(3)(4)1abababab，又3E，即1 ()2 (2)3 (3)4 (4)3abababab ，解得0.1a ，0b ，故0.1ab。例例 2.2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分
12、，回答不正确得100 分假设这名同学回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响（1）求这名同学回答这三个问题的总得分 X 的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即 X0）的概率【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。（1）求 X 的可能取值，即求得分，答对 0 道题得300 分，答对 1 道题得 100200=100 分，答对2 道题得 2100100=100 分，答对 3 道题得 300 分；（2）总分不为负分包括 100 分和 300 分两种情况【解析】（1）X 的可能取值为300，100，100，300P（X=30
13、0）=0.23=0.008。P（X=100）=1 3C0.220.8=0.096，P（X=100）=2 3C0.20.82=0.384，P（X=300）=0.83=0.512所以 X 的概率分布为X300100100300P0.0080.0960.3840.512E（X）=(300)0.008+(100)0.096+1000.384+3000.512=180（2）这名同学总得分不为负分的概率为P（X0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表举一反三：举一反三：【变式 1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得
14、 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球一次得分的期望奎屯王新敞新疆【答案】因为3 . 0)0(, 7 . 0) 1(PP，所以7 . 03 . 007 . 01E奎屯王新敞新疆【变式 2】一盒中装有零件 12 个，其中有 9 个正品，3 个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望【答案】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为 0，1，2，3当0时，即第一次取得正品，试验停止，则93(0)124p当1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则(1)p449 119 123当2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则(2)p2209 109 112 123当3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则(3)p2201 99 101 112 123分布列为0123p3 49 449
