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1、4.1 4.1 圆的方程圆的方程 4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程 第四章第四章 圆与方程圆与方程rC圆的定义：圆的定义： 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长就是半径定点就是圆心，定长就是半径.1.1.思考思考在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？分析：分析：因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径。因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径。显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了。显然，当圆心与半径大小确定后，圆就唯一确定了。 如图，在直角坐标系中，圆心如图，在
2、直角坐标系中，圆心C C的位置用坐标的位置用坐标 ( (a a, ,b b) ) 表示，半径表示，半径r r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M M( (x x, , y y) )与圆心与圆心C C ( (a a, ,b b) ) 的距离的距离xCMrOy|MC|= r则则圆上所有点的集合圆上所有点的集合P = M | |MC| = r 把上式两边平方得：把上式两边平方得：由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M M适合的条件可表示为：适合的条件可表示为：注意：注意：1.1.圆的标准方程圆的标准方程2.2.若圆心为若圆心为O O（0 0，0 0），则圆的方程为：），则圆的方程为：解
3、解: : 所求的圆的标准方程是所求的圆的标准方程是把点把点例例1 1 写出圆心为写出圆心为A(2,-3),A(2,-3),半径长等于半径长等于5 5的圆的方程的圆的方程, ,并判并判断点断点 , , 是否在这个圆上是否在这个圆上. .的坐标代入方程的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合方程左右两边相等，点的坐标适合方程所以点所以点在这个圆上在这个圆上. .AxyOM2M1把点把点的坐标代入方程的坐标代入方程左右两边不相等，点的坐标不适合方程左右两边不相等，点的坐标不适合方程所以点所以点不在这个圆上不在这个圆上. .AxyoM1M3M2如果设点如果设点M M到圆心的距离为到圆心的距离为d,d,
4、则可以看到：则可以看到：点在圆内点在圆内 d r ；点在圆上点在圆上 d =r ；点评：点评： 点与圆的位置关系点与圆的位置关系练习练习1 1： 已知圆已知圆O O的方程为的方程为 判断下面的判断下面的点点 在圆内、圆上、还是圆外？在圆内、圆上、还是圆外？ 解：解：因为因为所以点所以点在圆上在圆上；因为因为所以点所以点在圆内在圆内；因为因为所以点所以点在圆外。在圆外。答案：答案：练习练习2 2：指出下列方程表示的圆心坐标和半径：指出下列方程表示的圆心坐标和半径：(1)x(1)x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=9 (2)(x+1)=9 (2)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=
5、8=8练习练习3 3：写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程：(1)(1)圆心在点圆心在点C(3, 4 )C(3, 4 )，半径是，半径是(2)(2)经过点经过点P(5,1),P(5,1),圆心是点圆心是点C(8,-3)C(8,-3)答案：答案：例例2 2 的三个顶点的坐标分别为的三个顶点的坐标分别为A A(5,1),(5,1),B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程解：解：设所求圆的方程为：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)都在圆上，所以它都在圆上，
6、所以它们的坐标都满足方程，于是们的坐标都满足方程，于是所求圆的方程为所求圆的方程为练习：练习：已知已知 的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为 ，求求 外接圆的方程外接圆的方程解：解：设所求圆的方程为：设所求圆的方程为：因为因为A(4,0),B (0,3),O(0,0)A(4,0),B (0,3),O(0,0)都在圆上，所以它们的坐标都都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是满足方程，于是所求圆的方程为所求圆的方程为例例3.3.已知圆心为已知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A A(1,1)(1,1)和和B B(2,(2,2)2)，且圆心，且圆心C C 在直线在直线l：x x y y +1=0+1=0
7、上，求圆心为上，求圆心为C C 的圆的标准方程的圆的标准方程. .xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) )解：解：因为因为A(1, 1)A(1, 1)和和B(2,B(2,2)2)，所以线段，所以线段ABAB的中点的中点D D的坐标的坐标直线直线AB的斜率的斜率:因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是即即xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) )Dl解方程组解方程组得得所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是思考：思考：比较例比较例2 2和例和例3
8、3，你能归纳求任意，你能归纳求任意 外接圆的方程的外接圆的方程的两种方法吗？两种方法吗？两种方法：两种方法：待定系数法；待定系数法； 几何方法几何方法求圆的方程求圆的方程几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线） 求求 半径半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）练习：
9、练习：求以求以O(1O(1，3)3)为圆心，并且和直线为圆心，并且和直线3 3x x-4-4y y-7=0-7=0相切的相切的圆的方程圆的方程. .解：解：已知圆心已知圆心O O是是(1(1，3)3)，设圆的方程为：设圆的方程为：( (x x- -1 1) )2 2+(+(y y- -3 3) )2 2= =r r2 2 圆圆O O和直线和直线3x-4y-7=03x-4y-7=0相切，相切，半径等于圆心半径等于圆心O O到这条直线的距离到这条直线的距离. .则：则：因此，所求的圆的方程是：因此，所求的圆的方程是：v1.1.以（以（3 3，-4-4）为圆心，且过点（）为圆心，且过点（0 0，0
10、0）的圆的方程）的圆的方程v 是是 . .(x-3)(x-3) 2 2+(y+4)+(y+4)2 2=25=25v2.2.已知直线已知直线x-y+bx-y+b=0=0与圆与圆x x 2 2+y+y2 2=8=8相切，则相切，则b=b= . . 4 4或或-4-4v3.3.求以点求以点A (1, 5)A (1, 5)与与B B（3 3，-1-1）为直径两端点的圆的方程。）为直径两端点的圆的方程。1.1.圆心为圆心为C(a,bC(a,b) )，半径为，半径为r r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：2.2.由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有a, b, ra, b, r三个参数，因此必须三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。般采用圆的标准方程。3. 3. 注意圆的平面几何知识的运用。注意圆的平面几何知识的运用。
