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1、2018/10/21,1,数学本质、工作记忆与数学教学设计,首都师范大学数学科学学院 连四清,2018/10/21,2,1数学是什么？,恩格斯曾经概括为：“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。” 数学是文化，技术、是科学。 数学是模式等。,2018/10/21,3,数学提供了有特色的思考方式,除了定理和理论之外，数学提供了有特色的思考方式，包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推理以及应用符号等，它们是普遍适用并且强有力的思考方式。,2018/10/21,4,对基础数学教育的作用,在中、小学的教育中，基础数学教育乃是启发脑力和培训逻辑思维的主要学科，自古以来，它也一直是
2、教导学生善于认识问题、善于解决问题的最佳园地（项武义，2004）。,2018/10/21,5,数学中特有的思考问题方式,直观分析与理性分析是数学思维方式特有的特点（柯朗等，1988）。（数学是什么） 人类文明对于大自然的认知和理解的进化过程是由定性层面向定量层面的深化。例如，先定性认识到我们所在大地乃是一个球，然后再进而估计和测量地球的大小。基础数学的起源就是认知定量化的产物。基础数学的根源都是自然而且富有直观内涵的。,2018/10/21,6,体会一下：直观分析与理性分析,2018/10/21,7,对数学教学的启示,双曲线渐近线的引入。 显然数学对象的直观特征是非常明显，但是要理解直观特征的
3、本质，还需要借助理性的力量。 然而并不是所有的信息都会很直观。那么数学思维也会寻求一种近乎于直观的表达方式。,2018/10/21,8,请看问题： 一对少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏，每个儿童的左右相邻的都恰好是一个男孩和一个女孩，请你判断，这对少年儿童最多有多少人？为什么？,寻求近乎于直观的表达方式或处理方式,2018/10/21,9,分析：显然要解决这个问题，就首先必须要发现儿童排列的一些规律. 为了发现这一规律，我们可以用一个序列来描述这种排列，这样也就能够很快发现规律了： 男男女女男男女女.,2018/10/21,10,小结,在解决一些数学问题时，如果我们寻求到直观的表示数学关系
4、的方法，那么对问题解决而言，我们就会有些想法。 解决问题的初始想法都应该是朴实的，简单的。 现在的基础数学教育使得我们的学生没有了想法（idea)。实际上，没有想法的民族是不可能有创造的，也会没有希望。如果这个高度来认识数学，我们就可以在数列引入的设计上有所突破。即通过将相关的数据排成一列这种近乎于直观的表达，有助于我们发现其中的规律。 请根据这一想法设计一个数列概念的引入。,2018/10/21,11,引申,y=105,2018/10/21,12,不同表达信息的方式的互补性,最典型的就是数与形。一些教师往往将数形结合思想变成一种解题技巧。 曾经有一位教师为了讲解数形结合思想方法举了如下一道例
5、题。,2018/10/21,13,其实，多数学生很难从二次函数图像中发现一些有助于解决问题的信息。但是教师为了突出数“形”结合，硬是要求学生观察图像，结果是可想而知的了。 在学生无法得到问题解答的情况下，多数教师会引导学生观察图象的这一点、那一点。有些类似于牵牛的感觉。 反过来，在学生不能观察得出什么样的结论时，回到它的代数表达上来。问题会变得非常简单。当然，在此基础上，在要求学生回到图像上，来解释其代数表达的特征。,2018/10/21,14,数学思维初始的概略性,实际上，在解决问题中，人们常常回抛开问题的某些方法或部分，而抓住一些主要结构。即把问题抽象成较简单的形式，然后先解决这个简单的问
6、题，然后利用这个解答来帮助或指导更复杂的整个问题的解决。 概略性特点。 一位专家的故事、蹩脚的画家,2018/10/21,15,2018/10/21,16,2018/10/21,17,小结,其实，任何解决非常规问题的过程的思维均具有概略性的特点。 其实，这种思维的概略性特点是由认知心理学家揭示出来（Simon,1978; Shaw, 1978),2018/10/21,18,数学思维的分析性,分析性思维是数学思维的又一特性，培养分析性思维能力是数学教育重要的培养目标之一。 所谓分析性思维指的是寻求目标成立的条件或原因的一种思维方式。,2018/10/21,19,2018/10/21,20,201
7、8/10/21,21,小结,作为问题解决的教学应注意数学思维方式的教学，特别要注意引导学生提出自己的想法。,2018/10/21,22,总结,通过上面的例子，我们可以清楚地看到：做为数学教师，对数学及其数学思维的认识是非常重要的基础。,2018/10/21,23,讨论：教学设计,为什么要学习因式分解？因式分解的初始想法是什么？ 为什么要学习集合，集合概念的引入的初始想法是什么？,2018/10/21,24,记住,想法是非常重要的，而且想法是简单而朴实、概略的。想法是平易近人的。而不是深奥的。,2018/10/21,25,讨论,数学本质的认识可以像知识、方法那样通过教师讲解来直接获得吗？ 悟：体
8、会的重要性 数学知识与方法的应用、教学方法的选择：智慧的体现,2018/10/21,26,2工作记忆与数学教学,一次亲身经历! 按照字母顺序背26个英文字母，但是要是要求倒序背26个字母，结果会如何？ 尝试一下。 这种类似的任务有很多。如倒说一句话的游戏。 掌握去括号法则的情况下，为什么一些学生在去掉含有多个单项式的括号的过程中会忘掉变号？,2018/10/21,27,工作记忆,与短时记忆不同，工作记忆是一种在加工信息的同时保持信息的心理工作资源或平台。,2018/10/21,28,不用纸笔给出下列算式的答案,2018/10/21,29,工作记忆的特点,工作记忆最大限制是它的容量.即工作记忆可
9、以同时处理59个信息组块 (Miller, 1956). 工作记忆系统的信息保持的短暂性（通常为2至3秒。如果信息的不到及时的保持，那么信息会很快消失。,2018/10/21,30,认知负荷（Cognitive Load）,任何一项任务都要求工作记忆系统处理信息，同时又要保持住某些信息。Sweller与他的同事们将处理信息和保持信息的总量称为心理活动总量，这一总量称为认知负荷。,2018/10/21,31,影响认知负荷大小的因素： 元素之间的相互联系,2018/10/21,32,数学为什么难学？,研究表明：数学知识通常包含多种基本元素，而且这些基本元素又同时存在关系。 即使是简单的数学公式也是
10、如此。平方差公式应用的条件是“一个数学式子是两个数（或式）的和与这两个数（或式）差的积”，符号表达式为“(a+b)(a-b)”。,2018/10/21,33,平方差公式,这种关系中至少包含三层关系：第一，它首先是一个积；第二，这个积是一个和与差的积；第三，和式中的被加数与差式中的被减数相同，同时和式中的加数与差式中的减数相同（如右图所示）。在公式适用性判断中，上述的三种关系必须同时满足。,2018/10/21,34,对数学知识进行认知负荷分析，我们会发现，多数数学知识都存在类似的特点。即多个元素和多个关系并存。 这说明：数学知识具有较大的认知负荷。这也是为什么数学难学的一个重要原因。,2018
11、/10/21,35,现象解释,去括号忘变号？ 去绝对值忘讨论？ 通分过程中分子忘乘一个数或式？,2018/10/21,36,样例设计的基本原则和方法,在获得数学知识和数学技能初期，教学样例的设计必须减轻认知负荷。 填空题的作用（配方法）,2018/10/21,37,工作记忆资源分配策略,工作记忆具有两大特征：一是工作记忆的容量有限，二是保持的时间较短,这两者都大大限制了人们的复杂认知活动。所以，当认知任务的负荷达到一定程度时，单一依靠大脑的内部策略是难以维持信息并进行进一步认知任务加工的,这就需要人们借助于一定的外部手段使用一定的外部策略来维持信息。 个体就要使用一定的策略,使认知活动的一部分
12、转移到外部,以此来克服内部工作记忆容量有限的局限性,维持认知加工所需求的信息（刘慧娟 ，沃建中，2003） 。,2018/10/21,38,数学学困生的工作记忆缺陷,Swanson（1993，2001）研究表明：数困生存在着特殊WM缺陷，即数困生的WM缺陷仅局限于视空WM缺陷或者言语WM缺陷。 Comoldi等(1999)的研究发现，数学学习不良在视空间工作记忆任务均与非学习不良儿童存在显著性差异。 数困生视空间存在工作记忆缺陷在各研究者之间已基本达成了共识。 数困生是否存在语音系统缺陷，研究者还没有一致结论。,2018/10/21,39,王小丹和连四清（2007）研究表明：无论题目难易程度如何，学优生的内外部策略转换系数均高于学困生。而且当难度增加时，学优生和学困生在此系数上的差异在减小。,图3 题目难度学生类型交互作用图,2018/10/21,40,这说明：学优生较学困生能够更为合理地外部资源。如适时地利用笔记录中间结果和标记策略以减轻工作记忆负荷。 这也要求我们对学困生进行工作记忆资源分配策略的培训。培训方法有待于进一步研究。,2018/10/21,41,现象解释,我们经常遇到这样的情况：有老师抱怨，上课讲过的例题作为考试题，学生同样不会做。甚至于刚讲过的例题也是如此，为什么？ 如何解决这一问题？,
