《17哈密顿函数守恒原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《17哈密顿函数守恒原理（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十七讲 哈密顿函数,本讲导读,广义动量守恒原理,哈密顿函数,非完整系统的动力学,拉格朗日动力学的推广,如拉格朗日函数L不包含某个广义坐标q, 即L/ q =0, 这种广义坐标叫作循环坐标(可遗坐标). 于是, 拉格朗日方程(5.29)给出,即广义动量守恒,如果循环坐标是系统的整体平移坐标, 拉格朗日函数不包含整体平移坐标,即拉格朗日函数L对于整体平移是不变的, 广义动量守恒原理就归结为动量守恒原理. 若拉格朗日函数不包含整体转动坐标, 拉格朗日函数L对于整体转动不变, 拉格朗日函数是各向同性的, 则广义动量守恒原理归结为角动量守恒原理. 在矢量力学中, 动量守恒原理和角动量守恒原理是以牛顿第
2、三定律为先决条件(内力的矢量和为零, 内力的力矩和为零), 而广义动量守恒原理则并不以牛顿第三定律先决条件.,一、广义动量守恒原理,例1 质量为M的光滑大楔子置于光滑的水平桌面上, 质量为m的光滑小楔子沿着大楔子的光滑斜边滑下. 求这两个楔子的加速度.,解: 大楔子在水平方向运动, 小楔子在大楔子斜边上运动. 系统有两个自由度. 取桌面上的固定点O, 大楔子质心相对于O点坐标记作X. 小楔子质心相对于大楔子斜边底面而沿着斜边的坐标记作q, X和q可作为系统的广义坐标.,主动力是两个楔子所受的重力, 大楔子的势能在运动过程中不起变化, 可以不考虑. 只要讨论小楔子的势能就够了. 计算动能的时候要
3、注意, 小楔子的速度分量不仅仅是沿斜边的, 而目还有随着大楔子在水平方向运动的速度.,于是, 拉格朗日方程给出运动方程,大楔子的加速度以及小楔子相对于大楔子的加速度为,拉格朗日函数L是时间、广义坐标和广义速度的函数, L的时间变化率,在主动力全是保守力的情况下, 利用完整系统的拉格朗日方程把L/ q改写, 即得,这样,二、哈密顿函数守恒原理,定义哈密顿函数,如拉格朗日函数L不是时间显函数, 哈密顿函数H守恒,哈密顿函数是什么？,因为坐标变换不显含时间, 所以,于是,因为,这样, 我们得到,在坐标变换不显含时间的条件下, 动能是广义速度的二次齐次式, 哈密顿函数就是机械能.,如果约束是不稳定的或
4、者约束是稳定的, 但变换riri(q,t) 显含时间,广义速度二次函数T2 一次函数T1 零次函数T0,哈密顿函数,这样, 在变换式显含时间的条件下, 哈密顿函数H并非机械能,只能姑名之为广义能量.,注意: 矢量力学关于机械能守恒的条件为作用力是保守力. 可是, 哈密顿函数守恒即机械能守恒却还要求坐标变换式不显含时间. 这两种根源是否矛盾呢? 原来, 这两者并不是一回事. 矢量力学所说的势能对应于所有的力,包括主动力和约束力, 而拉格朗日函数L和哈密顿函数H中的势能则只对应广义力, 即只包括主动力, 不包括理想约束力. 可见这两种势能并不相同, 机械能守恒的条件当然也就不同了.,用拉格朗日方程
5、求解完整系力学问题的一般程序： (a)分析系统所受的约束.如系统确为完整系, 就根据系统的自由度选择恰当的广义坐标. (b)建立各质点的矢径与广义坐标的变换方程. 为方便起见, 尽可能使变换方程不显含时间. 如果能直接完成下一步(c), 则此步骤可以省略. (c)用广义坐标和广义速度表示动能, 用广义坐标表示广义力. 对于保守系统, 写出广义坐标表示的势能. 最后写出系统的拉格朗日函数. 注意，这里的动能和势能一般是指惯性系中的动能和势能,若使用非惯性系, 则应加上与惯性力相应的势能. 它可能不是只依赖于广义坐标和时间, 而是和广义速度有关的广义势能. (d)列出拉格朗日方程. (e)利用初始
6、条件解出拉格朗日方程. (f)分析结果.,例如，在匀速直线运动的汽车上有一谐振子在光滑水平槽中往返振动.取q轴沿振动方向, 原点在谐振子的平衡点. 选这汽车为参考系, 谐振子的,显然,所以H守恒. 另一方面，由于动能T是广义速度的二次单项式，所以H就是机械能诚然，,改取地面为参考系,这也是惯性系.如果谐振子的振动槽平行于汽车行进方向，则,v0是汽车的速度. 因 所以H守恒.但动能T不是广义速度的二次齐次式，所以H不是机械能事实上,如汽车是匀加速运动, 其速度为at, 仍以地面为参考系, 则,这时,所以H不守恒. 另一方面, T 不是广义速度二次齐次式, 所以H也不是机械能. 事实上，,例2 试
7、按“拉格朗日方式”研究单摆的运动.,解: 单摆有一个自由度. 取角坐标作为广义坐标. 主动力是重力mg, 是保守力. 系统的拉格朗日函数,拉格朗日方程给出运动方程,我们不直接解这个微分方程. 考虑到 L 不显含时间, 哈密顿函数守恒. 哈密顿函数,这是机械能. 这样,上式可改写为,这是一阶微分方程.为求解这个微分方程, 应区分三种情况,这时,随着摆球的上升,它的角速度不断减小并将在某个角度成为零, 然后,摆球折回而下降. 方程可变为,做代换,两边积分,这类积分不能用初等函数表出,它叫第一类椭圆积分.,摆球从0到所经历的时间是周期的四分之一. 相应地从0变到2. 这样, 周期,其中的积分叫第一类
8、完全椭圆积分,通常记作K(k).如果把被积函数展为幂级数, 然后逐项积分, 则,原方程可以化为,随t增长而增大. t , , 单摆无限地逼近竖直向上的位置.,这时没有折回现象, 原方程化为,两边积分, 仍得椭圆积分,摆球从0到所经历的时间是绕悬挂点转动周期的二分之一. 所以,广义坐标的个数超过了系统的实际的自由度. 尽管可以用广义坐标把达朗伯原理写为,但这些虚位移并不独立, 受到非完整约束方程的约束,对于线性非完整约束，约束方程可表示为,其中A和A 只是广义坐标和时间的函数, 取微分,三、不完整约束系统的动力学,由于虚位移不是时间的函数, 所以t =0, 所以,即,把上述方程组各个方程分别乘以
9、待定常数并与达朗伯方程相加, 得,虽然虚位移不独立,我们总可以选择乘子,使得,把上述动力学方程和约束条件联立起来就可以解出问题.,如所有的主动力是保守力, 相应的势能为V, 则广义主动力可表为,则,最后一项正是广义力形式, 对应第个约束的约束力的各个分量.,例3 斜冰面上冰刀简化模型的运动.,解: 设冰刀可抽象为以刚性轻杆相连的两个质点, 并且m1=m2=m.杆的长为l. 当冰刀在冰面上运动时, 质心(杆的中点)的速度只能沿杆长的方向. 已知冰面的倾角为.,取固定于斜冰面的坐标系oxyz, 其中oz垂直于冰面, oy在冰面上并沿水平方向. 为确定冰刀的位形, 可取质心的坐标(x,y)及冰刀与x
10、轴的夹角为广义坐标. 质心只沿杆长方向运动, 约束表示为,这是非完整约束.,系统的动能为质心平动动能与绕质心转动动能之和,即,系统的势能为,于是可以写出拉格朗日函数,按照拉格朗日乘子法建立动力学方程,可得,约束方程, 知,对时间求导,这样得,所以,再积分一次,得,利用初始条件,对于保守系, 广义力Q=-V/ q, 定义拉格朗日函数L=T-V, 就得到拉格朗日方程,以上引进的势函数V与广义速度无关, 可称之为普通势,但是, 拉格朗日方程并不只适用于普通势的系统. 我们可以作如下推广, 假定系统的广义力Q满足,显然, 定义LT-V, 拉格朗日方程依然成立.为保证广义力表达式不显含广义加速度, V函
11、数只可能含有广义速度的线性项, 即,四、拉格朗日动力学的推广,这个势函数V叫广义势, 或速度相关势,推广到广义势, 意味着从机械运动推广开来. 例如, 在经典电磁学中, 带电粒子在电磁场中所受的力是,引入矢量势A(r,t)和标量势(r,t),则可得到,其中,这样，可定义广义势能,而广义力为,定义 L=T-V,所以, 仍有,这样, 拉格朗日力学也可以用来研究电磁运动等, 而不像牛顿力学那样只能研究机械运动.,这时,如果x是循环坐标, 就是说L不包含x, 即和A与x无关,则相应的动量px守恒, 即,注意: 这动量并不就是运动动量, 而多出一项qAx, 多出的这项其实是电磁场的动量.,注意: 动量守
12、恒的根据只在于x是循环坐标, 跟牛顿定律无关. 可见电磁场很难采用“牛顿方式”, 电磁场的作用也谈不上牛顿定律.,对应哈密顿函数,具有普通势或广义势的系统, 拉格朗日函数可表示为动能减势能, 而且一定可写为,L2是广义速度二次式, L1是广义速定一次式, L0与广义速度无关. 这种构造的系统称为自然拉格朗日系统. 不能写为这种形式的系统叫非自然拉格朗日系统.,例: 质点运动速度接近光速时, 牛顿定律已不再适用,但拉格朗日方程仍然可以适用. 在保守场V中的质点,定义,这正是狭义相对论中的质点运动方程,但要注意拉格朗日函数已不再是T-V, 因为狭义相对论中的动能,至于哈密顿函数,仍是质点的总能量(包括静止能moc2). 这样, 拉格朗日动力学实际上概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 甚至可包括电气系统和控制系统.,作 业,5.12 5.14 5.15,
