中考数学二次函数动点问题-由面积产生的函数关系问题

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1、由面积产生的函数关系问题由面积产生的函数关系问题 例例 1 1 20132013 年菏泽市中考第年菏泽市中考第 2121 题题 如图 1， ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 3 3 4 yx 的图像与 y 轴、 x 轴的交点，点 B 在二次函数 2 1 8 yxbxc的图像上，且该二次函数图像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形 （1）试求 b、c 的值，并写出该二次函数的解析式； （2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问： 当 P 运动到何处时，由 PQAC？ 当 P 运动到何处时，四边

2、形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？ 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“13 菏泽 21” ，拖动点 P 由 A 向 D 运动，观察 S 随 P 变化的图像，可以体验 到，当 S 最小时，点 Q 恰好是 AC 的中点请打开超级画板文件名“13 菏泽 21” ，拖动点 P 由 A 向 D 运 动，观察 S 随 P 变化的图像，可以体验到，当 S 最小时，点 Q 恰好是 AC 的中点 思路点拨思路点拨 1求抛物线的解析式需要代入 B、D 两点的坐标，点 B 的坐标由点 C 的坐标得到，点 D 的坐标由 ADBC 可以得到 2设点 P、Q 运动的时间为 t，用

3、含有 t 的式子把线段 AP、CQ、AQ 的长表示出来 3四边形 PDCQ 的面积最小，就是APQ 的面积最大 满分解答满分解答 （1）由 3 3 4 yx ，得 A(0,3)，C(4,0) 由于 B、C 关于 OA 对称，所以 B(4,0)，BC8因为 AD/BC，ADBC，所以 D(8,3)将 B(4,0)、 D(8,3)分别代入 2 1 8 yxbxc，得 240, 883. bc bc 解得 1 4 b ，c3所以该二次函数的解析式为 2 11 3 84 yxx （2）设点 P、Q 运动的时间 为 t 如图 2，在APQ 中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO 4 5

4、当 PQAC 时， 4 5 AQ AP 所以 54 5 t t 解得 25 9 APt 图 2 图 3 如图 3，过点 Q 作 QHAD，垂足为 H由于 SAPQ 2 111333 sin(5) 2225102 AP QHAP AQPAQtttt ， SACD 11 8 312 22 AD OA ， 所以 S四边形 PDCQSACDSAPQ 22 333581 12()() 1021028 ttt 所以当 AP 5 2 时，四边形 PDCQ 的最小值是 81 8 考点伸展考点伸展 如果把第（2）题改为“当 P 运动到何处时，APQ 是直角三角形？”除了 PQAC 这种情况， 还有 QPAD 的

5、情况 这时 4 5 AP AQ ，所以 4 55 t t 解得 20 9 t （如图 4 所示） 图 4 例例 2 2 20122012 年广东省中考第年广东省中考第 2222 题题 如图 1，抛物线 2 13 9 22 yxx 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，联结 BC、AC （1）求 AB 和 OC 的长；（2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合） ，过 点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 D设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并 写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件

6、下，联结 CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切 的圆的面积（结果保留 ） 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 广东 22” ，拖动点 E 由 A 向 B 运动，观察图象，可以体验到，ADE 的 面积随 m 的增大而增大，CDE 的面积随 m 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E 在 AB 的中点 时，CDE 的面积最大 思路点拨思路点拨 1ADE 与ACB 相似，面积比等于对应边的比的平方 2CDE 与ADE 是同高三角形，面积比等于对应底边的比 满分解答满分解答 （1）由 2 131 9(3)(6) 222 yxxxx ，得 A(3,

7、0)、B(6,0)、C(0,9) 所以 AB9，OC9 （2）如图 2，因为 DE/CB，所以ADEACB 所以 2 () ADE ACB SAE SAB 而 181 22 ACB SAB OC ，AEm， 所以 222 811 ()() 922 ADEACB AEm sSSm AB m 的取值范围是 0m9 图 2 图 3 （3）如图 2，因为 DE/CB，所以 9CDBEm ADAEm 因为CDE 与ADE 是同高三角形，所以 9 CDE ADE SCDm SADm 所以 222 91191981 () 222228 CDE m Smmmm m 当 9 2 m 时，CDE 的面积最大，最大

8、值为 81 8 此时 E 是 AB 的中点， 9 2 BE 如图 3，作 EHCB，垂足为 H 在 RtBOC 中，OB6，OC9，所以 33 13 sin 1313 B 在 RtBEH 中， 93 1327 13 sin 21326 EHBEB 当E 与 BC 相切时，rEH所以 2 729 52 Sr 考点伸展考点伸展 在本题中，CDE 与BEC 能否相似？ 如图 2，虽然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE 与BEC 不能相似 例例 3 3 20122012 年河北省中考第年河北省中考第 2626 题题 如图 1，图 2，在ABC 中，AB13，BC14， 5 cos 13 AB

9、C 探究 如图 1，AHBC 于点 H， 则 AH_，AC_，ABC 的面积 SABC_ 拓展 如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A、C 重合） ，分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E、F设 BDx，AEm，CFn （当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD0） （1）用含 x，m 或 n 的代数式表示 SABD及 SCBD；（2）求(mn)与 x 的函数关系式，并求(mn) 的最大值和最小值； （3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围 发现 请你确定一条直线，使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程） ，并

10、写出 这个最小值 图 1 图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“12 河北 26” ，拖动点 D 由 A 向 C 运动，观察(mn)随 x 变化的图象，可以 体验到，D 到达 G 之前，(mn)的值越来越大；D 经过 G 之后，(mn)的值越来越小观察圆与线段 AC 的交点情况，可以体验到，当 D 运动到 G 时（如图 3） ，或者点 A 在圆的内部时（如图 4） ，圆与线段 AC 只有唯一的交点 D 图 3 图 4 答案答案 探究 AH12，AC15，SABC84 拓展 （1）SABD 1 2 mx，SCBD 1 2 nx （2）由 SABCSABDSCBD，得 11 84 22

11、mxnx 所以 168 mn x 由于 AC 边上的高 56 5 BG ，所以 x 的取值范围是 56 5 x14 所以(mn)的最大值为 15，最小值为 12 （3）x 的取值范围是 x 56 5 或 13x14发现 A、B、C 三点到直线 AC 的距离之和最小，最小 值为 56 5 例例 4 4 20112011 年淮安市中考第年淮安市中考第 2828 题题 如图 1，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P 在 AB 上，AP2点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿 AB 向点

12、 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方 形 EFGH，使它与ABC 在线段 AB 的同侧设 E、F 运动的时间为 t 秒(t0)，正方形 EFGH 与ABC 重叠部分的面积为 S （1）当 t1 时，正方形 EFGH 的边长是_；当 t3 时，正方形 EFGH 的边长是_；来源%:中 国教#育出版网 （2）当 1t2 时，求 S 与 t 的函数关系式； （3）直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？ 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名“11 淮安 28” ，拖动点 F 由 P 向 B

13、 运动，可以体验到，点 E 在向 A 运动时， 正方形 EFGH 越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点 E 折返以后，正方形 EFGH 的边长为定值 4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形在整个运动过程中， S 的最大值在六边形这个时段 请打开超级画板文件名“11 淮安 28” ，拖动点 F 由 P 向 B 运动，可以体验到，点 E 在向 A 运动时， 正方形 EFGH 越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点 E 折返以后，正方形 EFGH 的边长为定值 4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形在整个运动过程中， S

14、的最大值在六边形这个时段 思路点拨思路点拨 1全程运动时间为 8 秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画 8 个图形，这叫做磨刀不误砍柴 工 2这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种 好的选择 满分解答满分解答 （1）当 t1 时，EF2；当 t3 时，EF4 （2）如图 1，当 6 0 11 t 时，2EFt所以 2 4St 如图 2，当 66 115 t 时，2EFEHt，2AEt， 33 (2) 44 NEAEt 于是 3113 2(2) 442 NHEHNEttt ， 2 1142 2233 NHQ SNHQHNHNHNH 2 2 113 342 t 所以 2 22 2 11325113 4 3422422 Stttt 如图 3，当 6 2 5 t 时，4EF ，2AEt ，2AFt 所以 22 33 3 88 AFMAEN SSSAFAEt 图 2 图 3 图 4 （3）如图 4，图 5，图 6，图 7，重叠部分的最大面积是图 6 所示的六边形 EFNDQN，S 的最大值为 1102 75 ，此时 146 25 t 图 5