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1、8.5 空间向量及其运算空间向量及其运算1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为 0 的向量0单位向量长度(模)为 1 的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 ，使得 ab.推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是taOPOA其中 a 叫直线 l 的方向向量，tR，在 l 上取a，则可化为t或ABOPOAAB(1t)t
2、.OPOAOB(2)共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中 x，yR，a，b 为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点 O，有xy或MPMAMBOPOMMAMBxyz，其中 xyz_1_.OPOMOAOB(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，把a，b，c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作a，b，则AOB 叫做向量 aOAOB与 b 的夹角，记作a，b ，其范围是 0a，b，若a，b ，则称 a 与 b
3、 互2相垂直，记作 ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b 均为非零向量).(3)模、
4、夹角和距离公式设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，aaa2 1a2 2a2 3cosa，b .ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3 b2 1b2 2b2 3设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 dAB|.ABa2a12b2b12c2c121.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面.( )(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).( )(3)对于非零向量 b，由 abbc，则 ac.( )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( )(5)若 A、B、C、D 是
5、空间任意四点，则有0.( )ABBCCDDA(6)|a|b|ab|是 a、b 共线的充要条件.( )2.如图，在四面体 OABC 中，a，b，c，D 为 BC 的中点，OAOBOCE为 AD 的中点，则_(用 a，b，c 表示).OE答案 a b c121414解析 OE12OA12OD12OA14OB14OC a b c.1214143.已知向量 a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_.答案 13解析 ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)2051213.4.已知 2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则b，c_.答案 12
6、0解析 (2ab)c2acbc10，又 ac4，bc18，又|c|3，|b|12，cosb，c ，bc|b|c|12b，c0，180，b，c120.5.在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是_.(填序号)2；OMOAOBOCOM15OA13OB12OC0；0.MAMBMCOMOAOBOC答案 解析 0，MAMBMCMAMBMC则、为共面向量，即 M、A、B、C 四点共面.MAMBMC题型一 空间向量的线性运算例 1 如图，在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G是ABC 的重心，用基向量，表示，.OAOBOCMGOG思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示
7、即可.解 MGMAAG12OA23AN ()12OA23ONOA ()12OA2312OBOCOA.16OA13OB13OCOGOMMG12OA16OA13OB13OC.13OA13OB13OC思维升华 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为 AC 的中点.(1)化简_；A1O12AB12AD(2)用，表示，则_.ABADAA1OC1OC1答案 (1) (2)
8、A1A12AB12ADAA1解析 (1)A1O12AB12ADA1O12AC.A1OAOA1A(2).OC1OCCC112AB12ADAA1题型二 共线定理、共面定理的应用例 2 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点，(1)求证：E、F、G、H 四点共面；(2)求证：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 ().OM14OAOBOCOD思维启迪 对于(1)只要证出向量即可；对于(2)只要证出与共线即可；EGEFEHBDEH对于(3)，易知四边形 EFGH 为平行四边形，则点 M 为线段 EG 与
9、FH 的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示.OMOGOEOGOEOCODOAOB证明 (1)连结 BG，则EGEBBG ()EB12BCBD，EBBFEHEFEH由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面.(2)因为EHAHAE ()，12AD12AB12ADAB12BD所以 EHBD.又 EH平面 EFGH，BD平面 EFGH，所以 BD平面 EFGH.(3)找一点 O，并连结 OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，EH12BDFG12BD所以，即 EH 綊 FG，EHFG所以四边形 EFGH 是平行四边形.所以 EG，FH 交于一点 M
10、 且被 M 平分.故 ()OM12OEOG12OE12OG1212OAOB1212OCOD ().14OAOBOCOD思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A，B，C 三点共线，即证明，AB共线，亦即证明(0).ACABAC(2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明xy或对空间任一点 O，有xy或PAPBPCOAOPPBPCxyzOC(xyz1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线OPOAOB共面的充要条件.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 A1B 上的点
11、，F是 AC 上的点，且 A1E2EB，CF2AF，则 EF 与平面 A1B1CD 的位置关系为_.答案 平行解析 取a，b，c 为基底，易得 (abc)，ABADAA1EF13而abc，即，故 EFDB1，DB1EFDB1且 EF平面 A1B1CD，DB1平面 A1B1CD，所以 EF平面 A1B1CD.题型三 空间向量数量积的应用例 3 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M、N 分别是AB、CD 的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的长；(3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值.思维启迪 两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的
12、垂直关系；利用|a|2aa 可以求线段长；利用 cos 可求两条直线所成的角.ab|a|b|(1)证明 设p，q，r.ABACAD由题意可知，|p|q|r|a，且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60. () (qrp)，MNANAM12ACAD12AB12 (qrp)p (qprpp2)MNAB1212 (a2cos 60a2cos 60a2)0.12.MNAB即 MNAB.同理可证 MNCD.(2)解 由(1)可知 (qrp)，MN12|2 (qrp)2MN14 q2r2p22(qrpqrp)14 a2a2a22()14a22a22a22 2a2.14a22|a.MN22MN 的长为a.2
13、2(3)解 设向量与的夹角为 .ANMC () (qr)，AN12ACAD12q p，MCACAM12 (qr)(q p)ANMC1212 (q2 qprq rp)121212 (a2 a2cos 60a2cos 60 a2cos 60)121212 (a2).12a24a22a24a22又|a，ANMC32|cos aacos .ANMCANMC3232a22cos .23向量与的夹角的余弦值为 ，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 .ANMC2323思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为 时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 来进行计算.应该注意的是 (0， ，0，所以 cos |cos |；2|ab|a|b|(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|转化为向量求解.a2已知空间中三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 a，b.ABAC(1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值；(2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求实数 k 的值.解 (1)a(1,1,0)，b
