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1、120152015 届高考数学大一轮复习届高考数学大一轮复习 向量的数量积和运算律、向量的应用向量的数量积和运算律、向量的应用精品试题精品试题 理（含理（含 20142014 模拟试题）模拟试题）1.（2014 重庆一中高三下学期第一次月考，10）（原创）已知分别是的三边上的点，且满足，. 则（ ）（A） （B） （C） （D）解析 1. 因为，；又因为，可得, 所以 DEAC; ，则可得, 所以可得.2.(2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，2) 已知垂直，则的夹角是（ ）（A）600 （B）900 （C）1350 （D）1200解析 2. 由题意可得, 得, 所以又因为, 得.3
2、. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试，5) 已知点是的重心，若，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 2解析 3. 设中角，所对的边分别为，因为，所以，即，由是的重心，所以，所以，当且仅当时等号成立.4. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试，11) , 分别是的中线，若，且与的夹角为 120，则（ ）解析 4. 由已知可得：, 所以,所以, 选 C. 5. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 7) 如图，在矩形 ABCD 中， BC=2，点E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 上，的值是（ ）A.B. 2 C. 0 D. 1解析 5.=, 所以=1.所以，=+=.36
3、. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试，10) 若所在的平面内的点，且. 给出下列说法：；的最小值一定是；点 A、在一条直线上；向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个解析 6. 由可得，所以，即，有此可知点在过点且垂直与的直线上，所以正确. 选 B.7. （2014 广东汕头普通高考模拟考试试题，3）如图，在中，则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 解析 7. .8. (2014 北京东城高三第二学期教学检测，5) 设，是两个非零向量. 则下列命题为4真命题的是（ ）A. 若|，则B. 若，则|C. 若|，则存在实
4、数，使得D. 若存在实数，使得，则|解析 8. 若等价于反向共线且，所以存在实数，使得，选 C.9. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题，10) 在所在的平面内，点满足，且对于任意实数，恒有， 则 （ ）A. B. C. D. 解析 9. 因为，所以四点共线，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则，因为恒有，所以，即恒成立，所以判别式，解得，所以，即点在的中垂线上，故.10.（2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题，10）定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中：； ；若，则. 恒成立的有（ ） A B. C. D. 5解析 10. 根据
5、定义可得，故正确；此时可排除选项 C、D；故只需判断命题和的正确与否. 当向量为不为零的相反向量时，可得，显然的值为正值，故的说法错误，故选 B.11. (2014 广西桂林中学高三 2 月月考，6) 若，则向量与的夹角为（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 11. 设向量与的夹角为，因为，所以，由，所以，所以，所以.12.（2014 湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，8）如图，在半径为 R 的圆 C 中，已知弦 AB 的长为 5，则（ ）A B C D解析 12. 过点 C 作线段 AB 的垂线，垂足为 D，则根据圆的性质可得 AD=，根据平面向量的数量积可得. 13.(2014
6、河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 7) 已知6在ABC 中，且，则函数的最小值为( )(A) (B) (C) (D) 解析 13. 令，因为，由题意可得得，又因为，得. 所以，当时，有最小值.14.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试，3) 已知 e1，e2是夹角为 60的两个单位向量，若 ae1e2，b4e12e2，则 a 与 b 的夹角为 A30 B60 C120 D150解析 14. 由已知, 是夹解角为的两个单位向量, 所以, , =, 又因为故 选 C. 15. (2014 湖南株洲高三教学质量检测（一），5) 已知点，为坐标原点，动点满足，则点所构
7、成的平面区域的面积是( ) A. 12B. 16C. 32D. 64解析 15. ，为坐标原点，动点，7，由，即，他表示的可行域为边长为的正方形，如图，围成的区域的面积是.16. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知 ， 是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数 ，的最小值是（ ）A. 2 B. C. 4 D. 解析 16. 是互相垂直的单位向量，设，由，即，当且仅当时取等号，故的最小值为.17. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 10) 已知向量 ， ， 满足，则的最小值为（）A B C D解析 17.由得：，建立直角坐标系可设，代入化简得：，
8、又表示圆上的点到点的距离，由图像可得最小距离为8，故选 A.18. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 6) 设，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 10解析 18. ，即，又，即，故.19.(2014 广州高三调研测试, 3) 已知向量，若，则实数 的值为（ ）A B C D解析 19. 依题意，又，即.20. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 已知为线段上一点，为直线外一点， 为上一点，满足，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 解析 20. ，而，又，即， 在的角平分线上，由此得 是的内心，过 作于， 为圆心，为半径，作的内切圆，如图，分别切、于、，在中，.9.21.
9、 (2014 湖北黄冈高三期末考试) 函数的部分图象如图所示，若，则（ ）A. B. C. D. 解析 21. 由图知，函数的周期为，设，则，又，解得.22.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，15) 设向量 a，b 的夹角为 ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则 sin= 解析 22. 设，则由题意可得，解得. 所以，又因为，结合平方关系式可得 sin= .23. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，14) 圆 O 为ABC 的外接圆，半径为 2，10解析 23. 可得点 O 位线段 BC 的中点，又因点 O 为ABC 的外接圆的圆心，
10、由此可得ABC 为以 BC 为斜边的直角三角形，且，根据勾股定理可得，所以，根据投影的定义可知方向上的投影为.24. (2014 山西太原高三模拟考试（一），15) 已知 O 是锐角 ABC 的外接圆的圆心，且A=，若，则实数 m= . (用表示) 解析 24. 设外接圆半径为 R，则： 可化为：（*）. 易知与的夹角为 2C，与的夹角为 2B，与的夹角为 0，|=|=|=R. 则对（*）式左右分别与作数量积，可得：. 即 R2 （cos2C1）+R2（cos2B1）=2mR2. 2sinCcosB+（2sinBcosC）=2m，sinCcosB+sinBcosC=m，即 sin（B+C）=m
11、. 因为 sinA=sin（B+C）=sin（B+C）且A=，所以，m=sinA=sin.25. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），14) 若向量, 是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量方向上的投影为_. 解析 25. 依题意，投影为.26. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，15) 已知, 动点满足, 则的最大值为_. 解析 26. 设动点，因为，11所以，即，所以，所以，即为圆上的点到坐标原点的距离的 2 倍，因为圆心到坐标原点的距离为 2，圆的半径为 1，所以的最大值为.,27.（2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，14）已
12、知是上一动点, 线段是的一条动直径(是直径的两端点), 则的取值范围是_解析 27. 因为，又因为|AB|=2，所以，又因为，两边同时平方得 两式相加得，由得，由圆的性质可得，所以的取值范围是15,35.28. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测，11) 设向量，则向量 在向量 上的投影为 . 解析 28. 向量 在向量 上的投影为.29. (2014 湖南株洲高三教学质量检测（一），10) 已知是内的一点，且，若，和的面积分别为， ， ，则的最小 值是 . 解析 29. 由已知得 ，即，而. 30.(2014 江苏苏北四市高三期末统考, 13) 在平面四边形中，已知，点 分别在边上，
13、且，若向量与的夹角为，则的值 为 解析 30. 如图所示，设直线与相交于，由题意知，12令，则由，可得， 故为等边三角形，在中，由余弦定理求得，31. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 14) 已知直角中, 为斜边的中点，则向量在上的投影为 . 解析 31. 在直角中，为斜边的中点，如图，过点作，垂足为，则是向量在上的投影，向量在上的投影为. 32. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测，15) 设O 为不等边的外接圆， 内角，所对边的长分别为 , , ，是所在平面内的一点，且满足（与不重合）， 为所在平面外一点，. 有下列命题： 若，则点在平面上的射影恰在直线上；若，则；13若，则；若，则在内部的概率为（、分别表示与圆的面积）. 其中不正确的命题有 （写出所有不正确命题的序号）解析 32. , ,，即是的平分线， ，在平面上的射影是的外心， ，是不等边三角形， 点在平面上的射影恰在直线上不正确，故错误； ，为弧的中点， 是在平面上的射影，故正确；由于，则点在圆内，则为直径，若，则为的角平分线，且经过点，与是不等边三角形矛盾，故不正确； 若，是的平分线，在内部的概率应该为长度的测度，故不正 确. 故不正确的为 .33.(2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 2) 设为向量，则是的（ ）A . 充分不必要条件 B. 必要不充
