量子力学第三章量子力学中的力学量

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1、第三章 量子力学中的力学量,量子力学中的力学量需用算符表示。,由于微观粒子的波粒二象性，微观粒子的力学量与经典力学中的力学量不同:,经典力学中的力学量有确定的值;,微观粒子的力学量不一定有确定的值.有一系列可能值，以一定的概率出现,3.1表示力学量的算符,算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,例如：,一、算符,量子力学中的算符：是作用在波函数上的运算符号。用 表示一算符。,二力学量算符,1.坐标的算符就是坐标本身：,3.动量算符：,4.动能算符,5.哈密顿算符：,2. 能量算符,6.角动量算符：,直角坐系表示,结论：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量

2、的算符由经典表示式 中将 换成算符 得出,三 . 算符基本知识与矩阵对应，以后可知算符可以用一个矩阵表示,1.线性算符,满足,例：判断下列算符是否为线性算符： ; ,解：,是线性算符,不是线性算符,2. 算符之和,加法交换律,两个线性算符之和仍为线性算符,3. 算符之积,定义:,矩阵加法也满足上述规律,(1). 一般算符之积不满足交换律，即：,，称为算符 与 不可对易。,例1：,不对易,（2）若 即 称算符 ， 对易,例2：,显然动量各分量之间是对易的,4. 单位算符,保持波函数不改变的算符,单位算符与任何算符都对易：,5. 算符的复共轭，转置，厄密共轭,(1) 两个任意波函数 与 的标积,，

3、归一化条件:,与对角矩阵对应,（2）复共轭算符,算符 的复共轭算符 为：把 的表示式中所有复量换成其共轭复量.,（3）转置算符,定义: 算符 的转置算符 满足：,即：,（4）厄密共轭算符,若将算符 先转置，然后再复共轭，则该算符定义为算符 的厄密共轭算符 ，用 表示：,即：,算符 的厄密共轭算符即是 的转置复共轭算符,(5). 厄密算符,a.定义：如果一个算符 等于它的厄米共轭算符，则该算符称为厄米共轭算符，即 ，或,量子力学中，表示力学量的算符都是厄米算符,例：证明坐标算符是厄米算符,所以坐标算符是厄米算符，即,动量,要证明,例：证明动量算符是厄米算符,所以动量算符是厄米算符,(2) ，两个

4、厄密算符之积却不一定是厄密算符,b. 运算法则,(1) ，两个厄密算符之和仍为厄密算符,解：,因为, 不是厄米算符。,例：下列算符是否为厄秘算符, , 是厄米算符。,(3),5. 逆算符,设 能唯一解出，则定义的逆算符 为：,注意: 不是所有的算符都有逆算符。,四、本征方程，本征函数、本征值,例：能量本征值方程,2. 厄密算符的本征值为实数,由于力学量的数值都是实数， 因而要求相应算符的本征值为实数，厄秘算符满足这一要求。,证明：厄密算符的本征值必为实数：,为厄密算符,设,取,是实数,O,补充数学,函数,物理模型：一密度均匀，长度为l, 质量为m=1的细杆，,1. 定义,即：,或表示为,2.

5、相关公式 a.,b.,c.,d,e,f.,g.,3.2 算符的本征函数 几种典型力学量算符,（一）坐标算符,一、 算符表示,二、 本征方程和本征函数,1.本征方程,2.本征函数,本征值为连续谱。,本征值,三、连续本征函数的归一化问题 函数,1. 问题的提出,坐标的本征函数 本征值为 ，本征值是连续谱,解决办法：对连续谱的本征函数, 我们一般将函数归一化为 函数，,无法归一化？,2. 坐标本征函数归一化,取坐标本征态,二、 本征方程和本征函数 （定态）,1.本征方程,或,一维分量式：,方程的解,（二）动量算符,一、 动量算符,为厄米算符,2.本征函数方程的解 本征值为连续值,如何确定归一化系数C

6、 ？,三、动量本征函数的归一化问题连续本征函数的归一化问题,1. 问题的提出 ,这是由于本征值 可取任意值，动量本征值组成连续谱。对连续谱的本征函数, 我们一般将函数归一化为 函数，也可采用下面所介绍的箱归一化。,本征函数,2. 动量本征函数的归一化,归一化为 函数,取动量本征态,由 函数的性质,取 ， 归一化为 函数,三维情况,取 , 归一化为 函数,归一化的动量本征函数为, 箱归一化,最后让 。如给波函数加上边界条件,即粒子被限制在一正方形箱中, 边长为L ，为保证动量算符 为厄米算符，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值,考虑一维情况,（1）动量的本征值,利用,所以 ，,由此可

7、见，只要 ，动量的可能取值就是不连续的。,（2）归一化,加进周期性边界条件后, 动量本征函数可归一化为1,归一化常数,三维情况,同理:在y ,z方向： ，,推广：,归一化波函数为,当 时，本征值谱由分离变为连续.,归一化本征函数,它所描述的态中，粒子具有确定的动量 ，即动量算符的本征值.,（三）角动量算符及其本征函数,一、角动量算符和角动量平方算符的引入,1.角动量算符， ， 即,直角坐系表示,用球坐标表示：,可以看出角动量算符只与 有关,2角动量平方算符,只与 有关,二、 的本征方程、本征函数,1本征方程 ，其中,令本征值为 ，m为待定系数,（1）,2. 本征函数,解出（1）式的解,归一化后

8、， ，得,令本征值 ，,因,则,设 带入上式得,令,恒等式,三、 算符的本征方程、本征函数,1. 本征方程,（1）,（2）,2. 求 求解本征函数,（1）求 方程（2）的解,式（2）的解与 的本征函数相同。,（3）,由 ， 可知,（2）求 方程（1）的解,角动量 的共同本征态：,（1）,变量代换 ， ，,在数学上证明，只有当 ，且 、 时，方程才有保持有限性的解。,其具体的表达式为,其中,所以,例1：,例2：,例3：,（3）本征函数 球谐函数,由归一化条件 ，立体角,将 带入 得 俱体表达式,求得,例：,由于 中， 与 无关，因此 也是 的本征函数，即 具有的共同本征函数。由此可知 ，即 对易

9、。,讨论：,1.轨道角动量 、轨道角动量的z轴分量,本征方程 ；,磁量子数，有 个取值,简并度: 对应于 的一个本征值 有个不同的本征函数。,的本征值是 度简并。,角动量在Z方向分量的大小，即当轨道量子数一定时，有 个取值。空间量子化,角动量的大小，轨道量子化（轨道的称法系沿用经典的叫法）应理解为和位置变动相联系的角动量，认为电子绕核在固定的轨道运动的观点是错误的。,本征值,例：主量子数n=4,，,例：主量子数n=4,例：,2. 概率密度,例1,例2,概率最大,概率为零,例3,因 与 无关，所以这些图形是绕z轴旋转的对称立体图形。,概率最大,概率为零,3概率分布,与 无关,3.3 电子在库仑场

10、中的运动,中心力问题角动量守恒起了特别重要的作用,自然界广泛碰到物体在中心力场中的运动问题。 例如： 地球在万有引力场中运动 电子在原子核的库伦场中运动等。 无论在经典力学中， 还是在量子力学中，中心力场问题都占有特别重要的地位。库伦场在原子结构研究中占有特别重要的地位。本节将讨论粒子在中心力场中运动的一些共同特点。,回顾：在经典力学中，在中心力场 中运动的粒子，角动量 是守恒量，因为 组成的平面，因此粒子做平面运动。,（一）球对称势和径向方程,任务：本征方程 求 ,一、球对称势和径向方程,令,所以，,动能项,离心势,径向动能算符,2.哈密顿量,等于经典转动动能,3. 本征方程,因为势能仅为r

11、的函数，且态函数为单值函数，所以可令球面坐标本征函数为,，带入本征方程得,两边同除 ,得,（1）,（2）式的解即球谐函数,将 带入（1） ，得,径向方程（决定能量E和波函数R）,二、径向态函数的变换,令 ，带入径向方程可得,径向方程,当E0时，方程有解；能量为连续谱电离,当E0时，能量为分立谱束缚态,讨论：,1. 决定系统能量。已知 ，求解径向方程，即可得到能量本征值 。,2. 由离心势 中的负号代表斥力，因此 越大排斥效应越强，越难形成束缚态，通常,（二）开普勒问题,开普勒问题平方反比引力,例电子在库仑场中： ，其中,一.径向方程,“-”表示引力,仅考虑 的情况,进行如下变量代换： ， ，,

12、（2）,（1）渐近解,（2）设通解,3、求 即可得波函数,设具有幂级数形式 ，,s必须大于1，以保证 有限。将所设函数带入（3）式，得到系数公式,为保证态函数为有限项，设 项为最高项，即 ，以后各系数为零。由上式可知,令 ，则 ， 时，多项式中断。,主量子数， 径向量子数， 轨道量子数,二、 能级,由 ， ， ，,对于电子，由,是相对于电子刚好被电离时作为 而言,三、态函数,1. 薛定谔方程的解,薛定谔方程,分离变量法,径向方程的解 ,与角度部分有关的解 球谐方程,n主量子数,轨道角动量量子数,m磁量子数,2. 正交归一化条件,3. 简并度,个态函数,能级 是 度简并的。, 3.4 氢原子,一、两体问题化为单体问题,对氢原子应考虑核运动两体问题,两个质量分别为 的 粒子，相互作用 仅决定于相互位置,1. 哈密顿算符：多粒子体系的哈密顿算符,可得,其中,2. 本征方程薛定谔定态方程,（1）,引入：质心坐标 其中,相对坐标 ， ，因此势能：,折合质量,可证： （2）,其中，,3. 分解方程：,同除,（1）,令：,式中 分别表示质心运动能量和相对运动能量,