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1、揭阳一中 96 届高二上学期期末考试理科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）Aqp Bqp Cqp)( Dqp)(2.椭圆142 2yx的离心率为（ ）A25B23C 5 D33.“0 yx”是“22yx ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件4.命题“对任意Rx，都有2ln2x”的否定为（ ）A对任意Rx，都有2ln2x B不存在Rx，都有2ln2x C.存在Rx，使得2
2、ln2x D存在Rx，使得2ln2x5.在ABC中，已知60,20,40Ccb，则此三角形的解的情况是（ ）A有一解 B有两解 C.无解 D有解但解的个数不确定6.已知数列 na满足)(log1log133 Nnaann，且9642aaa，则)(log975 31aaa的值是（ ）A 51 B5 C. 5 D517.设变量yx,满足约束条件 , 3, 063, 02yyxyx则yxz 2的最小值为（ ）A7 B6 C. 1 D28.如果圆8)()(22ayax上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）A)3 , 1 () 1, 3( B )3 , 3( C. 1 , 1 D)3
3、 , 1 1, 3(9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A31B32C.231 D23210.已知bmxyyxNyxyxM),(,32),(22.若对于所有的Rm，均有NM ，则b的取值范围是（ ）A)332,332( B)26,26( C.26,26 D332,33211.已知各项为正的等比数列 na中，4a与14a的等比中项为22，则1172aa 的最小值为（ ）A16 B8 C. 22 D412.已知离心率25e的双曲线)0, 0( 1:2222 baby axC右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于AO，两点，若AOF的面积为4，则a的
4、值为（ ）A 22 B 3 C.4 D5第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.以xy为渐近线且经过点)0 , 2(的双曲线方程为 14.不等式1423 xx的解集为 15.已知数列 na的前n项和为nS，23 22nnSn，若数列 nb满足nnnnnaaaab 221，则数列 nb的前n项和为nT 16.方程)0(916yyxx的曲线即为函数)(xfy 的图象，对于函数)(xfy ，下列命题中正确的是 （请写出所有正确命题的序号）函数)(xfy 在R上是单调递减函数；函数)(xfy 的值域是R；函数)(xfy 的图象不经过第一象限；函数)(xf
5、y 的图象关于直线xy 对称；函数3)(4)(xfxF至少存在一个零点.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10 分）已知命题p：关于x的不等式0422 axx对一切Rx恒成立；命题q：函数xaxf)25()(是减函数，若qp为真命题，qp为假命题，求实数a的取值范围.18. （本小题满分 10 分）在ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，向量)sinsin,(CAbam，向量)sinsin,(BAcn，且nm.（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且3AD，求ca2的最大值.19. （本小题满分 12 分
6、）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),(),2 , 1 (2211yxByxAP均在抛物线上.（1）求抛物线方程；（2）若AB的中点坐标为) 1, 1 ( ，求直线AB方程.20. （本小题满分 12 分）已知首项为23的等比数列 na不是递减数列，其前n项和为)(NnSn，且445533,aSaSaS成等差数列.（1）求数列 na的通项公式；（2）设)(1NnSSTnnn，求数列 nT的最大项的的值与最小项的值.21. （本小题满分 12 分）某森林出现火灾，火势正以每分钟2100m的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消
7、防队员在现场平均每人每分钟灭火250m，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元.（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）22. （本小题满分 14 分）已知椭圆)0( 1:2222 baby axC的长轴长为4，离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）P为椭圆1222 yx上任意一点，过点P的直线mkxy交椭圆C于BA,两点
8、，射线PO交椭圆C于点Q（O为坐标原点）.是否存在常数，使得ABOABQSS恒成立？若存在，求出的值，否则，请说明理由；求ABQ面积的最大值，并写出取最大值时k与m的等量关系式.揭阳一中 96 届高二上学期期末考试理科数学试卷答案一、选择题1-5:BBADC 6-10: BAAAC 11、12：BC二、填空题13.14422 yx14. 372xxx或 15. )3)(2(252 1252nnnn 16.三、解答题17.解：由关于x的不等式0422 axx对一切Rx恒成立可得01642a，22:ap.由函数xaxf)25()(是减函数可得125 a，则2a.2:aq.若命题“p且q”为假命题，
9、 “p或q”为真命题，则p，q中一个为真，一个为假，若p真q假，则 2, 22 aa，此时a不存在；若p假q真，则22, 22 aaaa或，故答案为：2,(.18.解：（1）因为nm，所以0)sin(sin)sin)(sin(CAcBAba.由正弦定理可得0)()(cacbaba，即acbca222.由余弦定理可知21 22cos222 acac acbcaB.因为），（0B，所以3B.（2）设BAD，则在BAD中，由3B，可知），（320.由正弦定理及3AD，有23sin)32sin(sin ADABBD，所以sinABBDcos3)32sin(2,sin2，所以sinABcBDacos3,
10、sin42，从而)6sin(346cos322sinca，由），（320，可知），（65 66，所以当26，即3时，ca2取得最大值34.19.解：（1）由题意可设抛物线方程为)0(22ppxy.)2 , 1 (P在抛物线上，p222，即2p.抛物线方程为：xy42.（2）),(),(2211yxByxA在抛物线上，22 212 14,4xyxy，两式作差得：)(4)(212121xxyyyy，2121214 yyxxyy ，又AB的中点坐标为) 1, 1 ( ，221 yy，则2242121xxyykAB，直线AB方程为) 1(21xy，即012 yx.20.解：（1）设等比数列 na的公比
11、为q，因为445533,aSaSaS成等差数列，所以55443355aSaSaSaS，即354aa ，于是41352aaq.又 na不是递减数列且231a，所以21q，故等比数列 na的通项公式为nnn na23) 1()21(2311.（2）由（1）得 .,211,211 )21(1 为偶数为奇数nn Snnn n当n为奇数时，nS随n的增大而减小，所以2311SSn，故65 32 2311011SSSSnn；当n为偶数时，nS随n的增大而增大，所以1432nSS，故127 34 4311022SSSSnn综上，对于Nn，总有651 127nnSS.所以数列 nT最大项的值为65，最小项的值
12、为127.21.解：（1）210 100501005 xxt.（2）设总损失为y，则y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费，)100500(60100125txtxy2600003000010010125xx2-xx262500)2(10031450xx3645062500100231450.当且仅当262500)2(100xx，即27x时，y有最小值36450.22.解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为22，22, 42ea,得2,2, 2bca，椭圆C的方程为12422 yx.（2）设),(00yxP，设OPnOQ ，由题意知),(00nynxQ，122 02 0 yx，又
13、12)( 4)(2 02 0nynx，即1)222 02 02 yxn（，2n，即OPOQ2，故ABOABQSS) 12(，存在常数12 满足题意.设),(),(2211yxByxA，将mkxy代入椭圆C的方程，得0424)21 (222mkmxxk，由0)24(822mk，得2242km则有22212212142,214 kmxxkkmxx，点O到直线AB的距离为 21kmd ，22221212422 kmkxx，OAB的面积2222222222221)212(221)24(2 2124221 km km kmmk kmmkABdS，再将mkxy代入椭圆1222 yx中，得0224)21 (222mkmxxk，由0，可得2221km，令tkm2221，由，知10 t，ttttS22)2(22，故2S，当且仅当1t，即2221km取得最大值2，由（1）知，ABQ面积为S) 12(，ABQ面积的最大值为22，此时2221km.
