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1、120152015 届高考数学大一轮复习届高考数学大一轮复习 双曲线及其性质精品试题双曲线及其性质精品试题 理（含理（含 20142014模拟试题）模拟试题）1.(2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8) 已知双曲线, 则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )A. B. C. 2 D. 4解析 1. 双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率. 双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所 求值为 2. 2. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12) 已知双曲线，过其
2、左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A B C D 解析 2. 令. 由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为 a+c，由题意可知，整理得，两边同除，解得或，又因为双曲线的离心率大于 1，可得.3. (2014 山西太原高三模拟考试（一），9) 设 P 在双曲线上，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，F1PF2=90，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双 曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C. 4D. 5解析 3. 不妨设点 P 在双曲线的右支，设、，则根据2双曲线的定义可得，根据题意可得、，
3、由得，代入到中得，两边同除得，又因为 e1，所以可得 e=5.4. (2014 福州高中毕业班质量检测, 8) 已知、是双曲线() 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心为 ( ) A. B. C. D. 2 解析 4. 依题意，过焦点且垂直于渐近线的直线方程为，联立方程组，解得，所以对称中心的点的坐标为，由中点坐标公式得对称点的坐标为代入双曲线方程可得，又因为，化简得，故.5.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ）A. B. C. D. 解析 5. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线3的焦点在
4、轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选 D.6. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），12) 已知双曲线的左右焦点分别为，点为坐标原点，点在双曲线右支上，内切圆的圆心为, 圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度依次为( )A. B. C. D. 解析 6.设的内切圆与分别相切于点、,那么：, , 。由双曲线的定义：,所以. 设点，则，所以，即.延长交于点 C，在中，既是角平分线又是垂线，所以.所以在中，=. 选 A .7. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试，9) 已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线
5、的离心率为（ ）A. B. C. D. 4解析 7. 依题意，一条渐近线的方程为，则到渐近线的距离为，设关于渐近线的对称点为，交渐近线于，所以，所以，即.8. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试，10) 双曲线左支上一点到直线=的距离为 , 则（ ）A. B. 2 C. D. 4解析 8. 由已知可得 ，所以（舍）或，从而，故，选 A.9. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 12) 双曲线的左、右焦点分别为，, 过左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点. 若，则双曲线的离心率是（ ）解析 9.由已知可知，且是的中点，所以，从而，在中，故.10. （2014 广东汕头普通高考
6、模拟考试试题，4）双曲线的焦点到渐近线的距5离为（）A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 解析 10. 双曲线的焦点为，渐近线为，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为.11. (2014 北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B. C. D. 解析 11. 由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得12. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，11) 设、是双
7、曲线6上不同的三个点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 解析 12. 根据双曲线的对称性可知，、关于原点对称，设，则，所以，所以该双曲线的离心率为.13. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题，9) 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 解析 13. 设，因为点在椭圆上，所以，即，又四边形为矩形，所以，即，7解方程组得，设双曲线的实轴长为，焦距为，则，所以双曲线的离心率为.14. (2014 广西桂林中学高三 2 月月考，11) 已知、是双
8、曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 14. 依题意，双曲线的焦点为，所以，所以三角形的高为，则中点代入曲线方程得，又因为，化简整理的，解得，而，所以.15.（2014 湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，6）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D5解析 15. 双曲线的一条渐近线方程为 y=，即，由题意可得圆的圆心为（3,0）到直线的距离等于 2，即，解得 a=，所以该双曲线的离心率为.816. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测，6) 过双曲线的左焦点作圆
9、的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 解析 16. 即为双曲线的渐近线，为等边三角形，直线的倾斜角为，所以， . 选 D.17.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题, 8) 已知双曲线的一条渐近线与曲线相切，且右焦点 F 为抛物线的焦点，则双曲线的标准方程为( )(A) (B) (C) (D) 解析 17. 抛物线的焦点为（5,0）. 设曲线与双曲线的一条渐近线为相切与点，则根据导数的几何意义可知，解得，所以切点为（2,1），所以，又因为，所以可得，所以双曲线方程为.18.(2014 吉林省长春市高
10、中毕业班第二次调研测试，11) 已知直线 与双曲线交于，两点(，在同一支上), 为双曲线的两个焦点, 则在（ ）A以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上 B以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上 C以为直径的圆上或线段的垂直平分线上 D以上说法均不正确9解析 18. 当直线 垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线 不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选 19.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试，10) 如图，半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD，它 的下底 AB 是O
11、的直径，上底 CD 的端点在圆周上若双曲线以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点，则当梯形 ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为解析 19. 分别过点作的垂线，垂足分别为，连结, 设,则, 等腰梯形的周长,令则，所以， ，所以，当即 ， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长. 故选 D.20.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考，9) 己知抛物线的焦点 F 恰好是10双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点 F，则该双曲线的离心率为( )A+1 B2 C D1解析 20. 由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.21. (2014
12、 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 6) 已知是双曲线的两个焦点，以 线段为直径的圆与双曲线的一个公共点是，若则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 解析 21. 由题意，设，.22. (2014 天津七校高三联考, 6) 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ） （A） （B） （C） （D）解析 22. 由双曲线方程知，实轴长为 6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为 4， 故所求的圆的方程为.1123. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 11) 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率 的取
13、值范围为（ ）A. B. C. D. 解析 23. 椭圆：与双曲线有相同的焦点， ，解得，椭圆的离心率，又，故椭圆的离心率的取值范围是.24. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 11) 已知双曲线的左右焦 点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上 的点，的内切圆的圆心为 ，且圆 与 轴相切于点，过作直线的垂线，垂足 为， 若 为双曲线的离心率，则()A. B. C. D. 与关系 不确定解析 24.设内切圆与的切点分别为, 设则 ，又, 所以，从而，即。延长交于点，因为是角平分线和的垂线，所以是等腰三角形, 故且是中点。所以。25.(2014 兰州高三第一次诊断考试, 8)
14、已知双曲线 的左、右焦点分 别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）A B C D解析 25. 依题意，解得，双曲线方程为.26. (2014 湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线12的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率 （ ）A. B. C. D. 解析 26.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，解得.27. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试，15) 双曲线的左右焦点为，P 是双曲线左支上一点，满足相切，则双曲线的离心率为_. 解析 27. 设与圆相切于点，因为，所以是等腰三角形，从而. 在中，故，. 由双曲线定义得，所以，平方后化简可算得.28.（2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，12）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 .解析 28. 双曲线的一条渐近线方程为，焦点到该渐近线的距离为，又因为 OF 的线段长为 c，所以可得原点与垂足之间的距离为 a，又因为垂足恰在线段为坐标原点）的垂直平分线上可得 a=b，所以双曲
