13.1 抽样方法与总体分布的估计

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1、第十三章第十三章 统计与统计案例统计与统计案例知识网络第第 1 1 讲讲 抽样方法和总体分布的估计抽样方法和总体分布的估计知识梳理 1.三种抽样方法的联系与区别：类别共同点不同点相互联系适用范围简单 随机 抽样从总体中逐个抽取总体中个体比较 少系统 抽样将总体均匀分成若干部 分；按事先确定的规则 在各部分抽取在起始部分采用 简单随机抽样总体中个体比较 多分层 抽样都是等概率抽 样将总体分成若干层，按 个体个数的比例抽取在各层抽样时采 用简单随机抽样 或系统抽样总体中个体有明 显差异（1）从含有 N 个个体的总体中抽取 n 个个体的样本，每个个体被抽到的概率为Nn（2）系统抽样的步骤： 将总体中

2、的个体随机编号；将编号分段；在第 1 段中用简单统计案例独立检验回归分析随机抽样系统抽样简单随机抽样统计总体估计变量的相关性频率分布表频率分布直方图 折线图与茎叶图数字特征散点图线性回归方程 式分层抽样随机抽样确定起始的个体编号；按照事先研究的规则抽取样本. （3）分层抽样的步骤：分层；按比例确定每层抽取个体的个数；各层抽样；汇合 成样本. 2.总体估计 在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体 样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或 数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.反映频率分布的图表有样本频率表、 样本频率分布条形图或频率分布直方

3、图、频率折线图、茎叶图等. 从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为 n 的样本，就是进 行了 n 次试验，试验连同所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体 分布. 样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想 样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲 线,这条曲线叫做总体密度曲线方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征，一般地，设一组样本数据1x，2x，nx，其平均数为 x，则方差212)(1xxnsnii ，标准差21)(1xxnsnii样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就

4、越接近于总体在相应各组取值的概率设想 样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲 线,这条曲线叫做总体密度曲线 重难点突破 重点：弄清楚三种抽样方法的相同与相异之处；能读懂频率分布直方图等各种数据图表；会 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征. 难点：从样本数据中提取出基本的数字特征，并给出合理解释 重难点：三种抽样方法的特点及通过各种数据图表，分析和处理数据 1. 弄清三种抽样方法的特点、联系与区别是正确选择抽样方法的前提 问题 1:某市进行一次大型高三调研考试,在每间试室抽取一个学生的成绩作样本,采用的抽样 方法是 ;为了解该市 A、B、C 三类

5、学校的学生答卷情况，采用的抽样方法为 解析：考虑到学生多、个体差异不明显，采用系统抽样，第二种情形由于个体差异明显，采 用分层抽样 2. 要懂得从图表中提取有用信息 如：在频率分布直方图中小矩形的面积=组距组距频率 =频率众数最高矩形的中点的横坐标 中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值 热点考点题型探析 考点 1 随机抽样 题型 1：抽样方法的选取 例 1 （2010湖南）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、 150 个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为；在丙地

6、区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其销售收 入和售后服务情况，记这项调查为.则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法 C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法 【解题思路】采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。解析当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽 样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样. 依据题意，第项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第项调查中，总 体中个体较少且无明显差异，应采用简单随机抽样法.故选 B. 【名师指引】深刻理解三种

7、抽样方法的特点及适用范围 【新题导练】 1.为调查参加运动会的 1000 名运动员的年龄情况，从中抽查了 100 名运动员的年龄，就这 个问题来说，下列说法正确的是 A.1000 名运动员是总体B.每个运动员是个体 C.抽取的 100 名运动员是样本D.样本容量是 100 解析D 2.一个总体中共有 10 个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 3 的样本，则某 特定个体入样的概率是 解析 103简单随机抽样为等概率抽样 3.某交高三年级有男生 500 人，女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意 抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是 (

8、 ) (A)简单随机抽样法(B)抽签法 (C)随机数表法 (D)分层抽样法 【解析】D个体差异明显、按比例抽样 题型 2：实施抽样过程中的计算问题 例 2 （2010福建）一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0，1，2，99，依编号顺 序平均分成 10 个小组，组号依次为 1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 小组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同.若 m=6，则在第 7 组中抽取的号码是_. 【解题思路】研究“事先制定的规则” ，按照规则抽取样本 解析 “事先制定的规则”是“如果在第 1 组随

9、机抽取的号码为 m，那么在第 k 小组中抽取 的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同” m=6，k=7，m+k=13，在第 7 小组中抽取的号码的个位数是 3，又第 7 小组的十位数是 6，在第 7 小组中抽取的号码是 63. 【名师指引】要研究清楚各种抽样方法在实施过程中的步骤、规则 例 3 某单位有职工 160 名，其中业务人员 120 名，管理人员 16 名，后勤人员 24 名.为了 解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人 员、管理人员、后勤人员的人数应分别为_. 解析分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取. 1201624=1523，又

10、共抽出 20 人，各层抽取人数分别为 202015=15 人，20202=2 人，20203=3 人. 答案：15 人、2 人、3 人【名师指引】计算公式：某部分抽样人数该部分人数总体个体数样本容量【新题导练】 4. (2011 佛山二模)当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题已 知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户，若第一批经济适用房 中有 90 套住房用于解决这三个社区中 90 户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法 决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A40 B30C20 D36 【解析】B 5.从某

11、地区 15000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能 否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人。【解析】60由上表得15000(2321)2 3060.500 6.从m个编号抽取n个号码入样,考虑用系统抽样的方法抽样,则抽样距为( )A.nmB.n C.nmD. 1nm【解析】C.先剔除若干个体，再分组，使nm为整数考点 2 总体估计 题型 1 从图表中获取信息 例 4 (2007广东)图 l 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A、2A、mA(如2A表示身高(单位：cm)在150，155)内的学生人数)图

12、 2 是统计图 l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图现要统计 身高在 160180cm(含 160cm，不含 180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应 填写的条件是A9i B8i C7i D6i 分 分分 分分 分0.040.035 0.03 0.0250.020.015 0.010005100908070605040【解题思路】先从图 1 读出需要统计的数据,再从图 2 读出终止条件 解析 从条形统计图可以得出：身高在 160180cm(含 160cm，不含 180cm)的学生人数为7654AAAA，故终止条件为7i 统计与算法综合题，读图是关键，选 C 【名师指引】统计

13、图表包含:样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图、频率折 线图、茎叶图等, 从图表中获取信息是一项基本要求 【新题导练】 7、(2011 广州一模)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图 2 所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（ ） A19、13 B13、19 C20、18 D18、20 解析 A 8. (2011 汕头一模) 某校为了了解学生的课外阅读情况，随即调查了 50 名学生，得到他们 在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） 。

14、A. 0.6 小时B. 0.9 小时 C. 1.0 小时D. 1.5 小时 解析 B 50 名学生阅读总时间为 45，平均阅读时间 0.9 小时9. (2011 揭阳调研)统计某校 1000 名学生的数学会考成绩， 得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于 60 分为 及格，不低于 80 分为优秀，则及格人数是 ； 优秀率为 。解析: 800; 20题型 2：样本特征数的计算 例 5 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的 100 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。天数15118 018121 021124 024

15、127 027130 030133 033136 036139 0 灯泡数1111820251672 【解题思路】先计算样本的平均值、标准差，再对总体进行估计解析用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。 各组中值分别为 165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为0 1 2 3 41 1 2 0 1 0350878 975 643 2961甲乙人数(人)0 0.5 1.0 1.5 2.0时间(小时)20151051651%+19511%+22518%+25520%+28525%+315yyY16%+3457%+3752%=267.9268( 天) 这些组中值的方差为1/1001(165-268)2+11(195-268)2+18(225-268)2+20(255-268)2+25(285- 268)2+16(315-268)2+7(345-268)2+2(375-268)2=2128.60(天 2).故所求的标准差约466 .2128（天）答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为 268 天,标准差约为 46 天. 【名师指引】弄清计算原理、提高计算能力 【新题导练