《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 10.2 排列与组合》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高三数学北师大版（通用，理）总复习讲义 10.2 排列与组合（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、10.2 排列与组合排列与组合1 排列(1)排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m (mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元素中任意取出 m 个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有排列的个数叫作从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A .m n(3)排列数公式：A n(n1)(n2)(nm1)m n(4)A n(n1)(n2)21n！.A ，这里规定 0！1.n nm nn！nm！2 组合(1)组合的定义：从 n 个不同的元素中，任取出 m(mn)个元素为一组，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(2
2、)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C表示m n(3)组合数的计算公式：C ，由于m nAm nAm mn！m！nm！nn1n2nm1m！0！1，所以 C 1.0 n(4)组合数的性质：C C_；CC _C_.m nnmnmn1m nm1n1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(4)(n1)！n！nn！.( )(5)A nA.( )m nm1
3、n1(6)kC nC.( )k nk1n12 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( )A4 种 B10 种 C18 种 D20 种答案 B解析 方法一 不同的赠送方法有10(种)A4 5A2 2A3 3方法二 从 2 本同样的画册，3 本同样的集邮册中取出 4 本有两种取法：第一种：从 2本画册中取出 1 本，将 3 本集邮册全部取出；第二种：将 2 本画册全部取出，从 3 本集邮册中取出 2 本由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从 4位朋友中选出 1 人赠送画册，其余的赠送集邮册，
4、有 C 4(种)赠送方法；第二种取法1 4中只需从 4 位朋友中选取 2 人赠送画册，其余的赠送集邮册，有 C 6(种)赠送方2 4法因此共有 4610(种)赠送方法3 (2012大纲全国)将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种答案 A解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有 A 种不同的排法3 3再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 A 种不同的排法，第二列第二、三行的字1 2母只有 1 种排法因此共有 A A 112(种)不同的排列方法3 31 24 用
5、数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A8 B24 C48 D120答案 C解析 分两步：(1)先排个位有 A 种排法(2)再排前三位有 A 种排法，故共有1 23 4A A 48 种排法1 2 3 45 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有_种答案 14解析 有 1 名女生：C C 8.有 2 名女生：C C 6.1 2 3 42 2 2 4不同的选派方案有 8614(种)题型一 排列问题例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也
6、不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间思维启迪 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起对于相邻问题，常用“捆绑法” ；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)解 (1)方法一 (元素分析法)先排甲有 6 种，其余有 A 种，8 8故共有 6A 241 920(种)排法8 8方法二 (位置分析法)中间和两端有 A 种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A 种排法，故共有3 86 6A A 336720241 920(种)排法3 86 6方法三 (
7、等机会法)9 个人的全排列数有 A 种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中9 9间及两端的排法总数是 A 241 920(种)9 969方法四 (间接法)A 3A 6A 241 920(种)9 98 88 8(2)先排甲、乙，再排其余 7 人，共有 A A 10 080(种)排法2 27 7(3)(插空法)先排 4 名男生有 A 种方法，再将 5 名女生插空，有 A 种方法，故共有 A A 2 4 45 54 45 5880(种)排法思维升华 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、
8、插空法等常见的解题思路用 0,1,3,5,7 五个数字，可以组成多少个没有重复数字且 5 不在十位位置上的五位数？解 本题可分两类：第一类：0 在十位位置上，这时，5 不在十位位置上，所以五位数的个数为 A 24；4 4第二类：0 不在十位位置上，这时，由于 5 不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排 1,3,7 之一，这一步有 A 3 种方法又由于 0 不能排在万位位置上，所以万位位1 3置上只能排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，这一步有方法A 3(种)十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法1 3A 6(种)根据分步乘法计数原理，第二
9、类中所求五位数的个数为 A A A 54.3 31 31 33 3由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有245478(个)题型二 组合问题例 2 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？思维启迪 可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C
10、561(种)，2 34某一种假货必须在内的不同取法有 561 种(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C种或者 CCC5 984(种)3 343 352 343 34某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种(3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 CC2 100(种)1 202 15恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种(4)选取 2 件假货有 CC种，选取 3 件假货有 C种，共有选取方式1 202 153 15CCC2 1004552 555(种)1 202 153 15至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种(5)选取
11、 3 件的总数有 C，因此共有选取方式3 35CC6 5454556 090(种)3 353 15至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，(1)甲、乙所选的课程
12、中恰有 1 门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法种数共有 C C C 24(种)2 4 1 2 1 2(2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C C ，又甲乙两人所选的两门2 4 2 4课程都相同的选法种数为 C 种，因此满足条件的不同选法种数为 C C C 30(种)2 42 4 2 42 4题型三 排列与组合的综合应用问题例 3 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有 1 个盒
13、内有 2 个球，共有几种放法？(3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？思维启迪 把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球” ，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C C C A 144(种)1 4 2 4 1 32 2(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球” ，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3
14、个盒子中恰有一个空盒，因此， “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法(3)确定 2 个空盒有 C 种方法2 44 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有 C C A 种方法；3 4 1 12 2第二类有序均匀分组有A 种方法故共有 C (C C A A )84(种)C2 4C2 2A2 22 22 43 4 1 1 2 2C2 4C2 2A2 22 2思维升华 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组
15、”的差异及分类的标准(1)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A12 种 B18 种 C36 种 D54 种(2)(2013重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是_(用数字作答)答案 (1)B (2)590解析 (1)先放 1、2 的卡片有 C 种，再将 3、4、5、6 的卡片平均分成两组再放置，有1 3A 种，故共有 C C 18 种C2 4A2 22 21 32 4(2)分三类：选 1 名骨科医生，则有 C (C C C C C C )360(种)1 31 4 3 52 4 2 53 4 1 5选 2 名骨科医生，则有 C (C C C C )210(种)；2 31 4 2 52 4 1 5选 3 名骨科医生，则有 C C C 20(种)3 3 1 4 1 5骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 36021020590.排列、组合问题计算重、漏致误典例：(5 分)有 2
