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1、2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破1专题专题 16 恒成立问题你会多少恒成立问题你会多少考纲要求考纲要求: :1.1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题. .2.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力. .3.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间
2、一种完美结合与渗透之美与渗透之美. .基础知识回顾基础知识回顾: :恒成立：关于恒成立：关于x x的不等式的不等式f f( (x x)0)0 对于对于x x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。恒成立。若函数若函数在区间在区间上存在最小值上存在最小值和最大值和最大值，则，则: :( )f xDmin( )f xmax( )f x不等式不等式在区间在区间上恒成立上恒成立；( )f xaDmin( )f xa不等式不等式在区间在区间上恒成立上恒成立；( )f xaDmin( )f xa不等式不等式在区间在区间上恒成立
3、上恒成立；( )f xbDmax( )f xb不等式不等式在区间在区间上恒成立上恒成立；( )f xbDmax( )f xb若函数若函数在区间在区间上不存在最大（小）值，且值域为上不存在最大（小）值，且值域为，则：，则：( )f xD( , )m n不等式不等式（或（或）在区间）在区间上恒成立上恒成立；( )f xa( )f xaDma不等式不等式（或（或）在区间）在区间上恒成立上恒成立；( )f xb( )f xbDnb应用举例应用举例【例例 1】1】 【河南省 2018 年高考一模】已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数和和分别满足分别满足，则下列不等式恒成立的是，则下列不等式恒成立的
4、是 () =(1) 22 2+ 2 2(0)鈰厁)A A B B (2016) (2)鈰単(2018)(2)鈰単(2016) (2018)【答案答案】C2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破2【详解】令，则(0) =(1)22，令，则，解得(1)= (1)+ 2 2 (0)，则，令，鈭礸() + 2() 4(2018)故选【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题。【例例 2】2】 【河北省唐山一中 2018 届高三下学期强化提升考试（一） 】设设，当，当时，不等式时，不等式 0恒成立，则恒成立，则 的取值范围
5、是（的取值范围是（ ）1 22+(1 ) 2 3 22A A B B C C D D 【答案答案】A2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破3，令则()= 1 1 令，可得 = 1当时，递减；当时，递增；()()则当时，故的解集为：且则 的取值范围是故选【点睛】本题运用导数解答了恒成立问题，先通过导数求出不等式左边的最小值，然后代入不等式，构造新函数，再次运用导数求出最值，从而计算出结果，本题导数的运用性较强、综合性强，需要掌握其解答方法。【例例 3】3】 【河南省中原名校 2018 届高三高考预测金卷】定义在定义在 上的函数上的函数的导函数为的导函数为，且，且，若存在实数，若存在实数
6、 使不等式使不等式对于对于恒成立，则实数恒成立，则实数 的取值的取值() =(1) +(0) 22 范围为（范围为（ ）A A B B 2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破4C C D D 【答案答案】D【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数. 【例例 4】4】 【河南省信阳高级中学 2019 届高三第一次大考】已知函数已知函数，. .（1 1）讨论）讨论的单调区间；的单调区间；（2 2）若）若恒成立，求恒成立，求 的
7、取值范围的取值范围. .【答案答案】 （1）见解析；（2）2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破5（2）由题意，恒成立， 0 1 ( + 2)1 (1 + )2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破7令，则，() = ( + 2)1 (1 )() = 1 (1 + ) + 2 + 1= (1 ) 1 + 1当时，显然， 0在上是减函数，当时， 0，即 的取值范围是2 2 【江苏省南通市 2018 届高三最后一卷】已知函数已知函数，其中，其中. .() =1 22 + +5 4（1 1）当）当时，求函数时，求函数在在处的切线方程；处的切线方程；()（2 2）若函数）若函数存在两
8、个极值点存在两个极值点，求，求的取值范围；的取值范围；（3 3）若不等式）若不等式对任意的实数对任意的实数恒成立，求实数恒成立，求实数 的取值范围的取值范围. .【答案答案】(1) .(2) .(3) .0,12019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破8（2）由，可得 0因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，()1,2() = 0即的两个正根为所以，即所以=1 2(1+ 2)2 212) (1+ 2) + 12+5 2 = 2 1令，故，在上单调递增，所以() (4) = 7 4故得取值范围是2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破9（ii）若，即，令，得（舍去） ，42
9、 4 0 1，当时，在上单调减；2= 1 +2 1() 0所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.若，令，得当时，在上单调增；当时，() 0()() 1 2 因为，所以，故 0()当时，由得，或（舍去） 1 1即证，. 1构造函数.则.当时，.在上单调递增.()在上成立，即，证得.() (1) = 0当时，成立.( 1)11同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形。6 6 【四川省南充高级中学 2018 届高三考前模拟考试】已知函数已知函数，. .（1 1）当）当时，时，恒成立，试求实数恒成立，试求实数 的取值范围；的取值范围；（2 2）若数列）若数列满足：满足：，证明：，证明：. .【
10、答案答案】 （1）；（2）见解析则，()= 2 + +( ) =( )( )令，则，在 上单调递增，在上也单调递增，当时，鈮?在上单调递增，恒成立，当时，在上单调递减，在上单调递增，()(0,)而，所以在不恒成立，(0)= + ( 1)鈭?1, + 鈭?【答案答案】 （1）；（2）( ) + = 0（2）由，原不等式即为() = + ( 1) 0记() = + ( 1),(1) = 0依题意有岁任意恒成立，() 0求导得，当时，则在上单调递增，有 1() 0() (1)2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破16若，适合题意若，则，又，故存在使 + 1() =1 0当时，得在上单调递减
11、，在，舍去，1 0所以，即()= 32 1（）() + (3 ) = 3 3 (3 ) (3 )令,，构造函数 = (3 )鈭?0,2)() = 3 3 即方程在区间上只少有两个解() = 3 3 = 0(0,2)又，所以方程在区间上有解(1) = 0() = 3 3 = 0当时，即函数在上是增函数，且，() 0(0,2)所以此时方程在区间上无解当时，同上方程无解() 0当时，函数在上递增，在上递减，且(0,3)(3,2)3 1要使方程在区间上有解，则，即3 2 2 3 4所以此时当时，函数在上递增，在上递减，且， 3(0,3)(3,2)3 0() 0() (0) = 0不合题意.2019 届
12、高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破21若，结合与的图象可知显然不合题意.鈮?()()综上可知， 的取值范围是点睛：本题综合考查了函数与导函数的应用，根据题意构造合适的函数，分析所构造函数的单调性、最值进而求出其取值范围或证明不等式，高考中常考压轴题，属于难题。1212 【湖南省长沙市长郡中学 2018 届高考模拟卷（二） 】已知函数已知函数，（，且，且 0）. .（1 1）当）当时，若对任意时，若对任意，恒成立，求实数恒成立，求实数 的取值范围；的取值范围；鈭?1, + 鈭?（2 2）若）若，设，设 ，是是的导函数，判断的导函数，判断的零点个数，并证明的零点个数，并证明. .位鈭?0,1)()=1()2()()()()【答案答案】 （1）（2）见解析2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破22（2）证明：由题意：，由此可得为一个零点，令（） ，则， 0的减区间为，单调增区间为，()其中，则，()= (位2) = 2位2+ 1 0由零点存在定理及单调性可知在上存在唯一，(3) = 0由的单调递减区间是，则在上仅存在唯一的零点，()()3综上可知共有三个零点.()2019 届高三数学一轮复习热点难点精讲专题突破23点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；利用函数图像交点
