《数学选修4-5学案 §4.1.2数学归纳法证明不等式(2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学选修4-5学案 §4.1.2数学归纳法证明不等式(2)（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、选选修修4 4- -5 5学案学案 4 4.1.2.1.2 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式(2)(2) 姓名 学习目标学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2. 会运用数学归纳法证明不等式奎屯王新敞新疆重点重点：应用数学归纳法证明不等式.知识情景知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10. 验证n取 时命题 ( 即n时命题成立) ( (归纳奠基）归纳奠基） n；20. 假设当 时命题成立，证明当 n=k1 时命题 ( (归纳递推）归纳递推）.30. 由 10、20知，对于一切 n的自然数 n 命题 ！( (结论）
2、结论）n要诀要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .数学归纳法的应用数学归纳法的应用：例例 1. 求证：，其中，且23mem1m mN例例 2 2 已知数列的各项为正，且.na111,(4),2nnnaaaanN （1）证明; （2）求数列的通项公式.12,nnaanN nana例例 3 3 (06 湖南）已知函数, 数列满足: ( )sinf xxxna1101,(),1,2,3,nnaaf an证明: () ; () .101nnaa3 11 6nnaa例例 4 （09 山东）等比数列na的前 n 项和为nS, 已知对任意的nN, 点( ,)nn S均在函数(0xybr b且1,
3、,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 22(log1)()nnbanN w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证明：对任意的nN ，不等式12121111nnbbbnbbb成立ufNfa选选修修4-5练习练习 4.1.24.1.2 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式（2 2） 姓名 1 1、正数 a、b、c 成等差数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn.2 2、正数 a、b、c 成等比数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，试证明：an+cn2bn.3 3、若 n 为大于 1 的自然数，求证：.11
4、113 12224nnn4 4、 （05 辽宁）已知函数, 设数列满足，3( )(1)1xf xxx na111,()nnaaf a满足 nb* 12|3 |,()nnnnbaSbbb nN（）用数学归纳法证明； （）证明.1( 31) 2nnnb2 3.3nS 5、 （05 湖北）已知不等式为大于 2 的整数，表nnn其中,log211 31 21 2log2n示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足n2logna, 4, 3 , 2,),0(11 1nannaabbann n证明: , 5 , 4, 3,log222nnbban6、(09 广东 ）已知曲线22:20(1,2,)nCx
5、nxyn从点( 1,0)P 向曲线nC引斜率(0)nnk k 的切线nl，切点为(,)nnnP xy（1）求数列nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nn n nnxxxxxxxy.参考答案参考答案:1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n时命题成立) ( (归纳奠基）归纳奠基） ；n20. 假设当 n=k 时命题成立，证明当 n=k1 时命题也成立( (归纳递推）归纳递推）.30. 由 10、20知，对于一切 n的自然数 n 命题都成立！( (结论）结论）n要诀要诀: 递推基础不可少,归纳假
6、设要用到,结论写明莫忘掉.例例 1 1.求证：，其中，且23mem1m mN分析：此题是 2004 年广东高考数学试卷第 21 题的适当变形，有两种证法证法一：用数学归纳法证明（1）当 m=2 时，4423 2e ，不等式成立（2）假设*(2,)mk kkN时，有23kek，则 2(1)22236kkeeek ek，2k ，63(1)330kkk，即63(1)kk从而2(1)63(1)kekk， 即1mk时，亦有23mem由（1）和（2）知，对1,mmN都成立证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明22012 2223(1 1)332 (21)123(1211)2 1230mmmmm
7、emmCCCmmmmmmmmmm 当1m ，且mN时，23mem例例 2 2（2005 年江西第 21 题第（1）小题，本小题满分 12 分）已知数列 na,:的各项都是正数且满足 0111,(4),.2nnnaaaanN（1）证明 （2）求数列na的通项公式 an.;, 21Nnaann分析分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题。解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa210 aa，命题正确.2假设 n=k 时有. 21kkaa则111111,(4)(4)22kkkkk
8、knkaaaaaa时11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而1110,40,0.kkkkkkaaaaaa又2 111(4)4(2) 2.22kkkkaaaa1 kn时命题也正确.由 1、2知，对一切 nN 时有. 21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa 2010aa；2假设 n=k 时有21kkaa成立， 令)4(21)(xxxf ，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时 21kk
9、aa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(212 1nnnnaaaa所以 2 1)2()2(2nnaa2,nnba令则21222221 222 121111111()( )( )222222nnnnnnnbbbbb 又 bn=1，所以211(),2n nb 21122( )2nnnab即 本题也可先求出第（2）问，即数列na的通项公式2112( )2nna ，然后利用函数211( )2( )2xf x的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式但若这样做，则无形当中加大了第（1）问的难度， 显然不如用数学归纳法证明来得简捷 例例 3 3（06 年湖南卷
10、. 理 .19 本小题满分 14 分）已知函数( )sinf xxx,数列na满足:1101,(),1,2,3,.nnaaf an证明:()101nnaa;()3 11 6nnaa .证明: （I） 先用数学归纳法证明01na，1,2,3,(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立.(ii).假设当 n=k 时结论成立,即01ka.因为 00 成立.于是31()0,sin06nnnng aaaa即 故3 11 6nnaa 点评：点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点.需要灵活运用
11、各分支的数学知识.例例 4解(1) :因为对任意的nN,点( ,)nn S，均在函数(0xybr b且1, ,bb r均为常数的图像上.所以得n nSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,111 1()(1)nnnnn nnnaSSbrbrbbbb ,又因为na为等比数列,所以1r ,公比为b,1(1)n nabb（2）当 b=2 时，11(1)2nn nabb, 1 222(log1)2(log 21)2n nnban则121 2nnbn bn, 所以12121113 5 7212 4 62nnbbbn bbbn w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 下面用数学归纳法证明不等式121
12、21113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbn成立. 当1n 时,左边=3 2,右边=2,因为322,所以不等式成立. 假设当nk时不等式成立,即12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbk成立.则当1nk时,左边=11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkk bbbbkk2223(23)4(1)4(1) 111(1) 1(1) 1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 所以当1nk时,不等式也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以
13、及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 练习练习: :1 1、试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，均有：an+cn2bn.分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0 恒成立(a、b、c 为正数)，从而ak+1+ck+1akc+cka.2.2.证明：(1)设 a、b、c 为等比数列，a=,c=bq 0 且 q1)b qan+cn=+bnqn=bn(+qn)2bnnnb q1nq(2)设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想()n(n2 且 nN*)2nnac 2ac下面用数学归纳法证明：当 n=2 时，由 2(a2+c2)(a+c)2，22 2()22acac设 n=k 时成立，即() ,22kk kacac则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) (ak+1+ck+1+akc+cka)= 111 24kkac1 41 4(ak+ck)(a+c)()k()=()k+12ac 2ac 2ac根据、可知不等式对 n1,nN*都成立3 3、若 n 为大于 1 的自然数，求证：.2413 21 21
