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1、预习导航预习导航课程目标学习脉络1.了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程；2掌握定积分的概念，会用定义求定积分；3理解定积分的几何意义与性质.1定积分的概念(1)定积分的定义设函数 yf(x)定义在区间a，b上，用分点 ax0x1x2xn1xnb 把区间a，b分为 n 个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一点 i，作和式 In(i)xi.n1 i0f当 0 时，如果和式的极限存在，我们把和式 In的极限叫做函数 f(x)在
2、区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，b a即f(x)dxf(i)xi.b alim0n1i0其中 f(x)叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限，f(x)dx 叫做被积式此时称函数 f(x)在区间a，b上可积思考思考 1 (1)在定义中，对区间a，b的分法是否是任意的？i的取法是否是任意的？(2)在定义中，和式的极限是一个精确值还是近似值？定积分f(x)dx 是一个常数还是b a一个函数？(3)在定积分f(x)dx 中，定积分的值与积分变量有关吗？与积分区间有关吗？b a提示：提示：(1)定积分定义中，对于区间a，b的分法是任意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于 0
3、 就可以，采用等分的方式是为了便于作和另外，关于 i的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把 i都取为每个小区间的左(或右)端点(2)和式的极限是一个精确值，定积分是一个常数(3)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dxf(u)duf(t)dt(称为积分形式的不b ab ab a变性)，另外定积分f(x)dx 与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，定积分的积分b a上限与下限不同，所得的值也就不同点拨点拨 用定积分的定义求函数定积分的一般步骤：分割：n 等分区间a，b；pIX近似代替：在每个小区
4、间任取 i；求和：f(i)；n1i0ban取极限：f(x)dx f(i).b alimnn1i0ban(2)定积分的性质定积分有三条主要的性质：kf(x)dxkf(x)dx(k 为常数)；b ab af(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；b ab ab af(x)dxf(x)dxf(x)dx(acb)b ac ab c点拨点拨 对定积分性质的理解要注意以下几点：(1)性质称为定积分的线性性质，性质称为定积分对积分区间的可加性(2)性质对于有限个函数(两个以上)也成立；性质在把区间分成有限个(两个以上)区间时也成立；(3)在定积分的定义中，f(x)dx 的下限小于上限，即 ab.为了方便
5、计算，人们把定b a积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：f(x)dxf(x)dx，f(x)dx0.a bb aa a2定积分的几何意义(1)曲边梯形：曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴所围成的图形，称为曲边梯形(2)定积分的几何意义：曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应的函数 yf(x)在区间a，b上的定积分，即 Sf(x)dx.b a思考思考 2 能否认为曲边梯形的面积就是定积分的值，定积分的值就是曲边梯形的面积？提示：提示：不能曲边梯形的面积是正数，而定积分的值可正、可负、也可以为零，因此在iOtaQ利用定积分求曲边梯形面积时一定要注意定积分的取值点拨点拨 用定积分表示曲边梯形面积的几种情形：(1)由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴，一条曲线 yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积 Sf(x)dx(如图)b a(2)由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴，一条曲线 yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积 Sf(x)dx(如图)|b afxdx|b a(3)由三条直线 xa，xb(ab)，x 轴，一条曲线 yf(x)(如图)围成的曲边梯形的面积 Sf(x)dxf(x)dx.c ab c(4)由两条直线 xa，xb(ab)，两条曲线 yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积 Sf(x)g(x)dx(如图)b a
