《数学人教b版必修3课堂探究：1.3中国古代数学中的算法案例 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学人教b版必修3课堂探究：1.3中国古代数学中的算法案例 word版含解析（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课堂探究课堂探究1辗转相除法与更相减损之术的异同辗转相除法与更相减损之术的异同剖析剖析：相同点：都是求最大公约数的方法更相减损之术的理论依据为：由mnr，得 mnr，可以看出，m，n 与 n，r 有相同的公约数；辗转相除法的理论依据是：由 mnqr 可以看出，m，n 和 n，r 有相同的公约数，即二者的“算理”相似不同点：更相减损之术进行的是减法运算，辗转相除法进行的是除法运算，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 得到，而更相减损之术则以减数与差相等而得到2.秦九韶算法是多项式求值最先进的方法秦九韶算法是多项式求值最先进的方法剖析剖析：(1)秦九韶
2、算法把求一个 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值，即把求f(x)anxnan1xn1a1xa0的值转化为求递推公式Error!(k1,2, ，n)中 vn的值，所以我们可以将这个递推关系通过循环结构编写程序在计算机上来实现(2)运算次数减少，只需至多 n 次乘法和 n 次加法运算，而直接求和所用乘法的次数为，加法的次数为 n 次，从而大大提高了运算效率计算机做一次乘法运算需要的时nn12间是做加法运算的几倍到十几倍，衡量一个算法“优” “劣”的标准之一就是运算效率，减少乘法运算的次数也就加快了计算速度所以说，秦九韶算法是多项式求值的最先进的算法3教材中的教材中的“探索与研究探索与研
3、究”古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法(即欧几里得算法)：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数以求 288 和 123 的最大公约数为例，操作如下：(288,123)(42,123)(42,39)(3,39)想一想这种算法的道理试着编写程序在计算机上实现剖析剖析：欧几里得辗转相除法求正整数 a，b(ab)的最大公约数的步骤是：计算出 ab的余数 r，若 r0，则 b 为 a，b 的最大公约数；若 r0，则把前面的除数 b 作为新的被除数，把余数 r 作为新的除数，继续运算，直到余数为零，此时的除
4、数即为 a，b 的最大公约数从其算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数(用 a 表示)除以较小的数(用 b 表示)，得到除式：anbr(0rb)由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数 r 是否等于 0 决定，所以我们可以把它看做一个循环体，用循环结构就可以来实现其算法程序略【例例 1】 分别用辗转相除法和更相减损之术求下列两数的最大公约数(1)261,319；(2)1 734,816.分析分析：使用辗转相除法可依据 mnqr，反复执行，直到 r0 为止；用更相减损之术就是根据 mnr，反复执行，直到 nr 为止解解：(1)辗转相除法：3192611(余 58)26158
5、4(余 29)58292(余 0)319 与 261 的最大公约数是 29.更相减损之术：(261,319)(261,58)(203,58)(145,58)(87,58)(29,58)(29,29)319 与 261 的最大公约数是 29.(2)辗转相除法：1 7348162(余 102)，8161028(余 0)，1 734 与 816 的最大公约数是 102.更相减损之术：因为两数皆为偶数，首先除以 2 得到 867,408，再求 867 与 408 的最大公约数.(867,408)(459,408)(51,408)(51,357)(51,306)(51,255)(51,204)(51,1
6、53)(51,102)(51,51)1 734 与 816 的最大公约数是 512102.反思反思 对于第二个问题，用更相减损之术求解时，最后的结论有的同学可能会写成51，而没有乘以 2，从而得出与用辗转相除法不一样的答案，51 是它们的公约数，2也是它们的公约数，所以最大公约数就为 512102.【例例 2】 求 375,85 两数的最小公倍数分析分析：两数的最小公倍数就是两数之积与此两数最大公约数的商解解：先求最大公约数，37585435,8535215，351525，15530，375 与 85 的最大公约数是 5，375 与 85 的最小公倍数是 3758556 375.反思反思 先求
7、最大公约数，因为两数的最小公倍数就是两数之积与两数最大公约数的商，所以这种方法也可以推广到 n(n3)个数的情况.【例例 3】 用秦九韶算法计算多项式 f(x)x612x560x4160x3240x2192x64 当 x2时的值B分析分析：用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算求得解解：先将多项式 f(x)进行改写：f(x)x612x560x4160x3240x2192x64(x12)x60)x160)x240)x192)x64.然后由内向外计算得v01，v1v0xa5121210，gv2v1xa41026040，v3v2xa340216080，v4v3xa280224080，v5v4xa180219232，v6322640.所以当 x2 时多项式 f(x)的值为 f(2)0.反思反思 有的同学习惯于常规解法，可能会直接代入求解，但这种算法计算机在执行时要进行 20 次乘法和 6 次加法运算，而利用秦九韶算法只需进行 6 次乘法、6 次加法运算即可，要知道，让计算机进行一次乘法运算要比加法用的时间多很多，所以要减少乘法运算的次数，这也就是秦九韶算法的优势所在了
