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1、1EBCDAP 中位线定理中位线定理 例题：已知如图：平行四边形例题：已知如图：平行四边形 ABCD 中，中，正方形，正方形 ADEF6BC 所在平面与平面所在平面与平面 ABCD 垂直，垂直，G，H 分别是分别是 DF，BE 的中点的中点 （）求证：（）求证：GH平面平面 CDE；（）（）若若，求四棱锥，求四棱锥 F-ABCD 的体积的体积2,4 2CDDB练习：练习：1、如下图所示：在直三棱柱、如下图所示：在直三棱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，AB=5AB=5，AAAA1 1=4=4，点，点 D D 是是 ABAB 的中点。
2、的中点。求证：求证：ACAC1 1平面平面 CDBCDB1 1；2.2. 如图，如图，是正四棱柱侧棱长为是正四棱柱侧棱长为 1，底面边长为，底面边长为 2，E 是棱是棱 BC 的中点。的中点。 （1）求证：）求证：平面平面1111DCBAABCD /1BD；（；（2）求三棱锥）求三棱锥的体积的体积. DEC1BCDD1 3 3、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，4,3PDDC，E是是PC的的中点。中点。（1 1）证明：）证明：/PABDE平面；（2 2）求）求PAD以以PA为轴旋转所围成的几何体体积。为轴旋转所围
3、成的几何体体积。EA1B1C1D1DCBA_ H_ G_ D_ A_ B_ CEF2GPABCDFEABCDEF例例 2 2、 如图如图, , 在矩形在矩形中中, , , , 分别为线段分别为线段的中点的中点, , 平面平面. .求证求证: : ABCD2ABBC,P Q,AB CDEPABCD平面平面；（利用平行四边形）；（利用平行四边形）AQCEP练习：练习：如图，如图，PA 垂直于矩形垂直于矩形 ABCD 所在的平面，所在的平面，E、F 分别是分别是 AB、PD 的中点。求证：的中点。求证：AF平面平面 PCE；如图，已知如图，已知 P P 是矩形是矩形 ABCDABCD 所在平面外一点
4、，所在平面外一点，M M，N N 分别是分别是 ABAB，PCPC 中点。求证：中点。求证：ABCD平面PD /PAD MN和 和和 和P PA AB BC CD DM MN N 如图，已知如图，已知 AB 平面平面 ACD，DE/AB，ACD 是正三角形，是正三角形，AD = DE = 2AB，且，且 F 是是 CD 的中点的中点.求证：求证：AF/平平 面面 BCE；、已知正方体已知正方体ABCD-，是底是底对角线的交点对角线的交点. .求证：求证：面面 1111DCBAOABCD/1OC11AB DD1ODBAC1B1A1C3ABCDEF比例关系比例关系例题例题 3、P 是平行四边形是平
5、行四边形 ABCD 平面外一点，平面外一点，M、N 分别是分别是 PB、BC 上的点，且上的点，且,求证：求证：MN/平面平面 NCBN PMBM PCD(利用比例关系利用比例关系)练习：如图，四边形练习：如图，四边形ABCD为正方形，为正方形， EA平面平面ABCD，/EF AB，= 4,= 2,=1ABAEEF. .（）若点）若点在线段在线段M上，且满足上，且满足, , 求证：求证：/EM平面平面FBC；AC1 4CMCA面面平行面面平行- -线面平行线面平行例题例题 4、如图、如图,矩形矩形 ABCD 和梯形和梯形 BEFC 所在平面互相垂直所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=
6、90,AD=3,EF=2。 （）求证：平面求证：平面 ABE/平面平面 CDF （II）求证求证：AE/平面平面 DCF；（利用；（利用面面平行面面平行- -线面平行线面平行）练习：练习：1、如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD中，底面中，底面ABCD为正方形，为正方形，PD 平面平面ABCD，2PDAB，E，F，G分别为分别为PC、PD、BC的中点的中点（1 1）求证：；）求证：；EFGPA面/；（2 2）求三棱锥）求三棱锥PEFG的体积的体积 DACBE FM41A1C1BEFGACBEBACNDFM2、如图、如图,在直三棱柱在直三棱柱111ABCABC中中,090ACB，,E F
7、G分别是分别是11,AA AC BB的中点，且的中点，且1CGC G. ()求证：求证：/CGBEF平面； 3、如图所示、如图所示,正方形正方形ADEF与梯形与梯形ABCD所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直, ,/,22ADCD ABCD CDABAD. 在在EC上上找一点找一点M,使得使得/BM平面平面ADEF,请确定请确定M点的位置点的位置,并给出证明并给出证明4 4、 （20122012 山东文）如图，几何体山东文）如图，几何体EABCD是四棱锥，是四棱锥，ABD为正三角形，为正三角形，,CBCD ECBD. .()()求证：求证：BEDE；()()若若120BCD ，M M为线段为线
8、段AEAE的中点，的中点，求证：求证：DM平面平面BEC. .5例题例题： 如图，已知四棱锥如图，已知四棱锥ABCDP 。 若底面若底面ABCD为平行四为平行四 边形，边形，E为为PC的中点，在的中点，在DE上取点上取点F，过，过AP和点和点F的平面与的平面与 平面平面BDE的交线为的交线为FG，求证：，求证：FGAP/。证明：连证明：连 ACAC 与与 BDBD，设交点为，设交点为 O O，连，连 OEOE。练习：练习：1、如图，在四棱锥、如图，在四棱锥中，侧面中，侧面是正三角形，且与底面是正三角形，且与底面垂直，底面垂直，底面是边长为是边长为 2 的菱的菱PABCDPADABCDABCD
9、形，形，是是中点，过中点，过 A、N、D 三点的平面交三点的平面交于于求证：求证：；60BADNPBPCM/ADMN2、 （2012 浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中中，ADBC，ADAB，AB=2。AD=2，BC=4,AA1=2，E 是是 DD1的中点，的中点，F 是平面是平面 B1C1E 与直线与直线 AA1的交点。的交点。（1）证明：）证明：EFA1D1；3.如图，四边形如图，四边形 ABCD 是矩形，平面是矩形，平面 ABCD平面平面 BCE，BEEC. （1） 求证：平面求证：平面 AEC平面平面 ABE；(
10、面面垂直性质面面垂直性质) DABCPMN6（2） 点点 F 在在 BE 上，若上，若 DE/平面平面 ACF，求，求的值。的值。 （线面平行的性质（线面平行的性质 ）BEBF 21例、例、如图，在正方体如图，在正方体中，中，、分别是分别是、的中点的中点. .1111ABCDABC DEFGABAD11C D求证：平面求证：平面平面平面. .1D EFBDG练习：如图所示，在正方体练习：如图所示，在正方体 ABCD-中，中，E E、F F、G G、H H 分别是分别是 BCBC、CCCC1、C C1D D1、A A1A A 的中点的中点.求证：求证：1111DCBA（1 1）EGEG平面平面
11、BBBB1 1D D1 1D D；（2 2）平面平面 BDFBDF平面平面 B B1 1D D1 1H H. .例题：例题：已知已知在正方体在正方体 ABCD-中，中，E,FE,F 分别是分别是上的点，点上的点，点 P P 在正方体外，平面在正方体外，平面 PEFPEF 与正方与正方1111DCBA1111ADDC和 和体相交于体相交于 ACAC，求证：，求证：ABCD/ / 平面EFABCDA1B1C1D17ACBPACBDPMFEABCDG菱形的对角线互相垂直：菱形的对角线互相垂直：例题。已知例题。已知 E，F 分别是正方形分别是正方形 ABCD 边边 AD，AB 的中点，的中点，EF 交
12、交 AC 于于 M，GC 垂直于垂直于 ABCD 所在平面。所在平面。 求证：求证：EF平面平面 GMC练习：如图练习：如图ABCD-是底面为正方形的长方体，求证：（是底面为正方形的长方体，求证：（1 1）BDBD平面平面 （2 2）1111DCBAAACC11ACBD 等腰三角形底边的中线垂直底边等腰三角形底边的中线垂直底边例例 1、如图，在三棱锥如图，在三棱锥中，中，PABC2ACBC90ACB，APBPAB 求证：求证：；PCACPCAB练习：练习：1、在三棱锥、在三棱锥 A-BCD 中，中，AB=AC,BD=DC,求证：求证：ADBC ABCDABCD8圆的直径所对的圆周角为直角圆的直
13、径所对的圆周角为直角例题例题 3、如图、如图 AB 是圆是圆 O 的直径，的直径，C 是圆周上异于是圆周上异于 A、B 的任意一点，的任意一点，平面平面 ABC， （1）图中共有多少个直角）图中共有多少个直角 PA三角形？（三角形？（2）若）若,且且 AH 与与 PC 交于交于 H，求证：，求证：AH平面平面 PBC. PCAH 利用勾股定理利用勾股定理例例 4、在长方体、在长方体中，底面中，底面是边长为是边长为 1 的正方形，侧棱的正方形，侧棱1111DCBAABCD ABCD，E 是侧棱是侧棱的中点。求证：的中点。求证：平面平面； 21 AA1BBAE 11AD E证明：证明：为长方体，为
14、长方体，1111DCBAABCD 练习：如图，四棱锥练习：如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为的底面是边长为 1 的正方形，的正方形，,求求2, 1,PDPACDPA证：（证：（1）平面平面 ABCD PA （2）求四棱锥）求四棱锥 P-ABCD 的体积的体积.间接法，用线面垂直的性质定理（间接法，用线面垂直的性质定理（）blbbl,例题：例题：如图，四棱锥如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面中，底面 ABCD 为平行四边形，为平行四边形，60DAB，证明：，证明：;ABCDPDADAB底面,2BDPA 练习练习 1：如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱中，中，AC=3， BC=4，AB=5
15、，111ABCABC，点，点 D 是是 AB 的中点。的中点。 （）求证：）求证：；14AA 1ACBCD1C1B1A1EDCBABCDPAPACBHOa2aBDCAp9练习练习2： 如图，四边形如图，四边形为矩形，为矩形，平面平面，为为上的点，且上的点，且平面平面. . 求证：求证：ABCDBCABEFCEBFACE ；BEAE 证明：因为证明：因为，ABEBC平面ABEAE平面例例 1 1 如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，PAPA垂直垂直O O所在的平面，所在的平面，C C是圆上不同于是圆上不同于A A，B B的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面PACPAC平面平面PBCPBC. . 练习练习 1：如图，棱柱：如图，棱柱111
