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1、20122012 年惠州市一中高二年级下期期中考试数学试题（理科）年惠州市一中高二年级下期期中考试数学试题（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。1复数1 2i 的虚部是（ ）A1 5 B1 5i C1 5D1 5i2曲线324yxx在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A30 B45 C60 D1203用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A324 B328 C360 D6484已知随机变量服从正态分布2(2,)N，(4)0.2P,则(0)P（ ）A0.8 B0.6 C0.4 D0.25某商品销售量 y（件）与
2、销售价格 x（元/件）负相关，则其回归方程可能是A10200yx B10200yx C10200yx D10200yx6如果函数 y=f(x)的图象如右图，那么导函数 y=f(x)的图象可能是（ ）7若21( )ln(2)2f xxbx 在(-1, + )上是减函数，则b的取值范围是（ ）A 1,) B( 1,) C(, 1 D(, 1) 8已知直线1yx与曲线yln()xa相切，则a的值为( )A1 B2 C1 D21xx3yy23xy O二填空题（每小题二填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分）961(2)2xx的展开式的常数项是 （用数字作答）10已知离散型随机变量X的分布列如右
3、表若0EX ，1DX ，则a ，b 11若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 （结果用最简分数表示）。12函数bxaxxxf23)(23在1x 处有极小值1，则ab 13从如图所示的长方形区域内任取一个点yxM,，则点M取自阴影部分的概率为_.14若数列 na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na例如，若数列 na是1,2,3, n ，则数列()na是0,1,2,1,n ，已知对任意的Nn，2 nan，则5()a ，() )na 三、解答题（
4、本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分 12 分） 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：0123p0.10.32aa（）求a的值和的数学期望；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率。16（本小题满分 12 分） 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了2 2() ()()()()n adbckab cd ac bd500 位老年人，结果如下：
5、性别 是否需要服务 男女需要4030 不需要160270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； （2）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中需要志愿者提供 帮助的老年人的比例？说明理由。 附：17（本小题满分 14 分）已知函数32( )3(0)f xxaxbxc b，且( )( )2g xf x是奇函数（）求a，c的值；（）讨论函数( )f x的单调性18（本小题满分 14 分）在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且
6、平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。19（本小题满分 14 分） 设数列 na满足2 0P Kk0.050.0250.0100.0050.0010k3.8415.0246.6357.87910.828), 3 , 2 , 1(1, 211naaaannn（） 证明：
7、12 nan对一切正整数n成立；（）令), 3 , 2 , 1(nnabn n判断nb与1nb的大小，并说明理由.20（本小题满分 14 分）已知函数2( )lnf xaxbx图象上一点 2,2Pf处的切线方程为32ln22yx （1）求, a b的值；（2）若方程( )0f xm在1 , ee内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；（3）令( )( )g xf xkx，若( )g x的图象与x轴交于1( ,0)A x，2(,0)B x(其中12xx)，AB的中点为0(,0)C x，求证：( )g x在0x处的导数0()0g x20122012 年惠州一中高二年级下期期中考
8、试年惠州一中高二年级下期期中考试数学试题（理科）答案及评分标准数学试题（理科）答案及评分标准一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1【解析】A；.2【解析】B；本题主要考查了导数的几何意义及求导数232yx ，1k，倾斜角为45，故选 B.3【解析】B；本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识，属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有2 99 872A （个），当 0 不排在末位时，有111 4884 8 8256AAA （个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有
9、72256328（个）。故选 B. 4【解析】D； 5【解析】A； 6【解析】A；由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，所 以只有答案 A 满足.7【解析】C；由题意可知( )02bfxxx ，在( 1,)x 上恒成立，即(2)bx x在( 1,)x 上恒成立，由于1x ，所以1b ，故 C 为正确答案8【解析】B；设切点00,P xy，则001yx，00lnyxa，又0 011x xyxa，01xa，000,1yx ，2a，故选 B。二填空题（每小题二填空题（每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 9【答案】20【解析】rrrrrrrr rxCxxCT2626 66 61
10、2) 1()21()2() 1( ，令026 r，得3r，故展开式的常数项为20) 1(3 63C10【答案】125a，41b.【解析】由题知1211cba，061ca，1121211222ca，解得125a，41b.11【答案】5 7【解析】因为只有 2 名女生，所以选出 3 人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：3 5C，概率为：3 5 3 72 7C C，所以，均不少于 1 名的概率为：25177。12【解析】1 613【解析】本题属于几何概型求概率，131 03102xdxxS阴影，331长方形S，所求概率为31长方形阴影 SSP.14【答案】2，2n【解析】因为5ma ，而2
11、 nan，所以 m=1,2,所以5()a2.12345678910111213141516()0,()1,()1,()1,()2,()2,()2,()2,()2,()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,aaaaaaaaaaaaaaaa因为所以1() )a 1, 2() )a 4，3() )a 9， 4() )a 16，猜想2() )nan 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题小题, 共共 80 分分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15解：（）由概率分布的性质知，0.1 0.3210.2aaa 则的分布列为0 0.
12、1 1 0.32 0.43 0.21.7E 0 0.1 1 0.32 0.43 0.21.7E 6 分（）设事件A表示“2 个月内共被投诉 2 次”，事件1A表示“2 个月内有一个月被投诉2 次，另一个月被投诉 0 次”，事件2A表示“2 个月内每个月均被投诉 1 次”则由事件的独立性可得1 12()(2) (0)2 0.4 0.10.08P AC PP22 2() (1)(0.3)0.09P AP 12( )()()0.08 0.090.17P AP AP A 12 分 故该企业在这两个月共被投诉 2 次的概率为 0.17. 16解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供
13、帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500 3 分（2）2 2500 (40 27030 160)9.967200 300 70 430K。 6 分由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有 关。 8 分 （3）由（1）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能 看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确 定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用 简单随机抽样方法更好 12 分17解：（）因为函数( )( )2g xf x为奇函数，所以对任意的xR，()( )gxg x ，0123p0.10.30.40.2即()2( )2fxf x 又32( )3f xxaxbxc所以32323232xaxbxcxaxbxc 所以22aa cc ， 解得02ac，
