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1、1 第四篇第四篇 无穷级数无穷级数 第七章第七章 无穷级数无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进 行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和 基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题， 最后介绍工程中常用的傅里叶级数. 第第 1 节节 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质 1.1 常数项级数的概念常数项级数的概念 一般的，给定一个数列 , 321n uuuu 则由这数列构成的表达式 n uuuu 321 叫做（常数项）无穷级数无穷级数 简称（常数项）级数 记为 即
2、1n n u 321 1 n n n uuuuu 其中第项叫做级数的一般项一般项n n u 作级数的前项和 1n n un n n i in uuuuus 321 1 称为级数的部分和部分和 当 n 依次取 1,2,3时，它们构成一个新的数列 1n n u ， 11 su 212 suu 3123 suuu ， 12 . nn suuu 根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义定义 如果级数的部分和数列有极限 即 则称无穷级数 1n n u n ssssn n lim 2 收敛 这时极限叫做这级数的和级数的和 并写成 1n n us 321 1 n n n uuuuu
3、s 如果没有极限 则称无穷级数发散发散 n s 1n n u 当级数收敛时 其部分和是级数的和的近似值 它们之间的差值 1n n u n s 1n n us 12nnnn rssuu 叫做级数的余项余项 1n n u 例例 1 讨论等比级数（几何级数）(a0)的敛散性 n n aq 0 解解 如果 则部分和1q q aq q a q aqa aqaqaqas nn n n 111 12 当时 因为 所以此时级数收敛 其和为 1q q a sn n 1 lim n n aq 0 q a 1 当时 因为 所以此时级数发散 1q n n slim n n aq 0 如果 则当时 因此级数发散 1q1
4、q n sna n n aq 0 当时 级数成为1q n n aq 0 aaaa 因为随着为奇数或偶数而等于或零 所以的极限不存在 从而这时级数 n sna n s 发散 n n aq 0 3 综上所述 如果 则级数收敛 其和为 如果 则级数1q n n aq 0 q a 1 1q 发散 n n aq 0 例例 2 判别无穷级数的收敛性 1 ) 1 1ln( n n 解解 由于 nn n unln) 1(ln) 1 1ln( 因此 ,) 1(ln)ln) 1(ln( )ln3ln4()ln2ln3() 1ln2(ln nnnsn 而 ，故该级数发散. n n Slim 例例 3 判别无穷级数的
5、收敛性 1 ) 1( 1 n nn 解解 因为 , 1 11 ) 1( 1 nnnn un 所以 ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 nn sn 1 1 1) 1 11 ( ) 3 1 2 1 () 2 1 1 ( nnn 从而 1) 1 1 1 (limlim n s n n n 所以这级数收敛 它的和是 1 1.2 收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质 根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质. 性质性质 1 如果级数收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也 1n n u 1n n ku 收敛 且其和为ks 证明证明 设与的部分和分别为与 则 1n n u
6、 1n n ku n s n ,) (limlim 21n n n n kukuku ksskuuuk n n n n lim) (lim 21 4 这表明级数收敛 且和为 1n n kuks 性质性质 2 如果级数、分别收敛于和 、 则级数也收敛 且其和 1n n u 1n n vs)( 1 n n n vu 为s 证明证明 如果、的部分和分别为、， 则 1n n u 1n n v)( 1 n n n vu n s n n )( )()(limlim 2211nn n n n vuvuvu ) () (lim 2121nn n vvvuuu ss nn n )(lim 性质性质 3 在级数中
7、去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数是收敛的; ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 nn 级数也是收敛的; ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 10000 nn 级数也是收敛的 ) 1( 1 54 1 43 1 nn 性质性质 4 如果级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和 1n n u 不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数（11)+（11) + 收敛于零 但级数 1111 却是发散的 推论推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 性质性质 5 5 如果收敛 则它的一般
8、项趋于零 即 1n n u n u0lim 0 n n u 证明证明 设级数的部分和为 且 则 1n n u n sssn n lim 0limlim)(limlim 11 0 ssssssu n n n n nn n n n 注注 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例例 6 证明调和级数 1 3 1 2 1 1 1 1 nn n 是发散的 5 证明证明 假若级数收敛且其和为 是它的部分和 1 1 n n s n s 显然有及 于是 ssn n limss n n 2 lim0)(lim 2 nn n ss 但另一方面 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 nn
9、nnnn ss nn 故 矛盾 这矛盾说明级数必定发散 0)(lim 2 nn n ss 1 1 n n 习题习题 7-1 1. 写出下列级数的前四项: （1） ； （2）. 1 ! n n n n 1 2 1 ) 1( 1) 1( n n n n 2. 写出下列级数的一般项（通项）: （1） ； （2）； 8 1 4 1 2 1 1 9753 5432 aaaa （3）. 7 1 5 1 3 1 1 3. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性: （1） ; （2）. 1 1 1ln n n 6 sin 6 2 sin 6 sin n 4. 判断下列级数的敛散性: （1） ; （2）;
10、1 3 1 n n n3 1 9 1 6 1 3 1 （3） （4）. 1 12 n n n 2) 1(2222 n 6 第第 2 节节 常数项级数的收敛法则常数项级数的收敛法则 2.1 正项级数及其收敛法则正项级数及其收敛法则 现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数正项级数. 设级数 （7-2-1） n uuuu 321 是一个正项级数，它的部分和为.显然，数列是一个单调增加数列，即： n s n s n sss 21 如果数列有界，即总不大于某一常数，根据单调有界的数列必有极限的准 n s n sM 则，级数（7-2-1）必收敛于和，且. 反之，如果正项级数（7-2-1）
11、收敛于和sMssn .根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列有界. 因此，有如下重要结论：s n s 定理定理 1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界 1n n u n s 定理定理 2 (比较审敛法) 设和都是正项级数 且 若级数 1n n u 1n n v nn uv ), 2, 1(n 收敛 则级数收敛 反之 若级数发散 则级数发散 1n n v 1n n u 1n n u 1n n v 证明证明 设级数收敛于和 则级数的部分和 1n n v 1n n u ), 2, 1( 21321 nvvvuuuus nnn 即部分和数列有界 由定理 1 知级数收敛 n s 1n n
12、 u 反之 设级数发散 则级数必发散 因为若级数收敛 由上已证明的 1n n u 1n n v 1n n v 结论 将有级数也收敛 与假设矛盾 1n n u 7 推论推论 设和都是正项级数 如果级数收敛 且存在自然数 N 使当 1n n u 1n n v 1n n v 时有成立 则级数收敛 如果级数发散 且当时Nn )0(kkvu nn 1n n u 1n n vNn 有成立 则级数发散)0(kkvu nn 1n n u 例例 1 讨论 p级数 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 ppppp n nn 的收敛性 其中常数 0p 解解 设 这时 而调和级数发散 由比较审敛法知 当时级数1p nnp 11 1 1 n n 1p 发散 p n n 1 1 设 此时有1p 11 11 1 ) 1( 1 1 1111 pp n n p n n pp nnp dx x dx nn ), 3, 2(n 对于级数 其部分和
