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1、高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室第二章第二章导数与微分导数与微分教学目的：教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程 和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性 之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导 数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反
2、函数的导数。 教学重点：教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。2. 1 导数概念导数概念一、引例一、引例1直线运动的速度直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻 t 质点的坐标为 s s 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0的速度 考虑比值 0000)()( tttftf ttss 这个比值可认为是动点在时间间隔 tt0内的平
3、均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实 践中也可用来说明动点在时刻 t0的速度 但这样做是不精确的 更确地应当这样 令 t t00 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室取比值的极限 如果这个极限存在 设为 v 即 00)()( tttftf 00)()(lim0tttftfv tt 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0的速度 2切线问题切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N 作割线 MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 如果割线绕点旋转而趋于极限位置 MT 直线就称为曲线有点 处的切线 设曲线 C 就
4、是函数 yf(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线 只 要定出切线的斜率就行了 为此 在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y) 于是割线 MN 的斜率为 0000)()(tanxxxfxf xxyy 其中为割线 MN 的倾角 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0 如果当 x 0时 上式的极限 存在 设为 k 即00)()(lim0xxxfxfk xx 存在 则此极限 k 是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里 ktan 其中是切线 MT 的 倾角 于是 通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切
5、线 二、导数的定义二、导数的定义1 函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极 限 00)()(lim0xxxfxfxx令xxx0 则yf(x0x)f(x0) f(x)f(x0) xx0相当于x 0 于是 00)()(lim0xxxfxfxx成为或 xyx0limxxfxxfx)()(lim000定义定义 设函数 yf(x)在点 x0的某个邻域内有定义 当自变量 x 在 x0处取得增量x(点 x0x 仍在该邻域内)时 相应地函数 y 取得增量yf(x0x)f(x0) 如果y 与x 之比当x0 时的极限存在 则
6、称函数 yf(x)在点 x0处可导 并称这个极限为函数 yf(x)在点 x0处的导数 记为 即0|xxy xxfxxf xyxf xx )()(limlim)(00000高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室也可记为 或 0|xxy0xxdxdy0)(xxdxxdf函数 f(x)在点 x0处可导有时也说成 f(x)在点 x0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有 hxfhxfxf h)()(lim)(0000 00 0)()(lim)(0xxxfxfxf xx 在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓
7、函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限不存在 就说函数 yf(x)在点 x0处不可导 xxfxxfx)()(lim000如果不可导的原因是由于 xxfxxfx)()(lim000也往往说函数 yf(x)在点 x0处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导 就称函数 f(x)在开区间 I 内可导 这时 对 于任一 x I 都对应着 f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数 记作 或 y)(xfdxdy dxxdf)(导函数的定义式导函数的定义式 xxfxxfy x )()(lim 0hx
8、fhxfh)()(lim 0f (x0)与 f (x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0处的导数 f (x)就是导函数 f (x)在点 xx0处的函数值 即 0)()(0xxxfxf导函数 f (x)简称导数 而 f (x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数 f (x)在 x0处的值 左右导数 所列极限存在 则定义f(x)在的左导数0xhxfhxfxf h)()(lim)(0000 f(x)在的右导数0xhxfhxfxf h)()(lim)(0000 如果极限存在则称此极限值为函数在 x0的左导数hxfhxfh)()(lim000如果极限存在则称此极限值为函数在 x0的右导数hxfhxfh
9、)()(lim000导数与左右导数的关系Axf)(0Axfxf)()(00高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室2求导数举例求导数举例例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解 hxfhxfxf h)()(lim)( 0 0lim 0 hCCh即(C ) 0 例 2 求的导数 xxf1)(解 hxhx hxfhxfxf hh11lim)()(lim)( 00 2001 )(1lim)(limxxhxxhxhhhh 例 3 求的导数xxf)(解 hxhx hxfhxfxf hh 00lim)()(lim)( xxhxxhxhhhh211lim)(lim
10、00 例 2求函数 f(x)x n (n 为正整数)在 xa 处的导数 解 f (a)(x n1ax n2 a n1)na n1 axafxfax )()(limaxaxnnax lim axlim把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n1 即 (x n)nx n1 (C)0 21)1(xxxx21)(1)(xx更一般地 有(x )x 1 其中为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解 f (x)hxfhxfh)()(lim 0 hxhxhsin)sin(lim 0 2sin)2cos(21lim 0hhxhh xhh hx hcos22sin )2cos(lim 0 即
11、 (sin x)cos x 用类似的方法 可求得 (cos x )sin x 例 4求函数 f(x)a x(a0 a 1) 的导数 解 f (x)hxfhxfh)()(lim 0 haaxhxh0lim高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室haahhx1lim 0 tah1令 )1 (loglim 0tta atx aaeaxaxlnlog1特别地有(e x )e x 例 5求函数 f(x)log a x (a0 a 1) 的导数 解 hxhx hxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)( 00 hxahahahxh xxh hx xxh
12、x h)1 (loglim1)1 (loglim1)(log1lim 000 axexaln1log1解hxhxxfaahlog)(loglim)( 0 )1 (log1lim 0xh hah hxahxh x)1 (loglim10 axexaln1log1即 axxaln1)(log特殊地 xx1)(lnaxxaln1)(logxx1)(ln3单侧导数导数 极限存在的充分必要条件是hxfhxfh)()(lim 0及hxfhxfh)()(lim 0hxfhxfh)()(lim 0都存在且相等f(x)在处的左导数 0xhxfhxfxf h)()(lim)( 00 f(x)在处的右导数 0xhxfhxfxf h)()(lim)( 00 导数与左右导数的关系导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x0) 和右导数 f (x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在 就说 f(x)有 闭区间a, b上可导 高等数学教案 第二章 导数与微分内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数 解 1|lim) 0()0(lim) 0( 00 hh hfhff hh 1|lim) 0()0(lim) 0( 0
