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1、第一第一套套 1在ABC 中,ABAC,BD、CD 平分ABC、ACB,点 D 在ABC 内,过 D 点作 EFBC请 问 EF 与 BE、CF 有什么关系? 2如图所示,在等腰直角三角形 ABC 中,ACB90,D 为 BC 的中点,DEAB,垂足为 E, 过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F,连接 CF(1)求证:ADCF(2)连接 AF,试判断 ACF 的形状并说明理由 3在四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分ABC 且BAD 与BCD 互补,求证:ADCD 4如图所示,点 P 是ABC 的 BC 边的垂直平分线上一点,且A2PBC,BP、CP 的延长线 分别交 AC、
2、AB 于点 D、E,求证:BECD 5如图所示,12,ABAC,求证:BDDC 6如图所示,正方形 ABCD 中,M 在 CD 上,N 在 DA 延长线上,CMAN,点 E 在 BD 上, EN 平分DNM,EFMN 于点 F,问 MN、AD、EF 有什么数量关系? 第二第二套套 1在ABC 中,ABAC,延长 AB 到点 D 使 BDAB,E 为 AB 边的中点,求证:CD2CE 2已知ABC 中,CDAB 于 D,过 D 作 DEAC 于点 E,F 为 BC 边的中点,过 F 作 FGDC 于 点 G,求证:DGEG 3如图所示,设 BP、CQ 是ABC 的内角平分线,AH、AK 分别为
3、A 到 BP、CQ 的垂线求证: KHBC 4如图所示,在ABC 中,ADBC 于 D,BE 为 AC 边的中线,且CBE30,求证: ADBE 5如图所示,已知 AO 是ABC 中A 的平分线,BDAO 的延长线于点 D,E 是 BC 的中点,求 证:DE(ABAC) 6如图所示,在任意五边形 ABCDE 中,M、N、P、Q 分别为 AB、CD、BC、DE 的中点, K、L 分别为 MN、PQ 的中点求证:KLAE,且 KLAE 第三第三套套 1如图所示,在ABC 中,ABAC,BAC20,D 是 AB 上一点,BDC30,求证: ADBC 2如图所示,在 RtABC 中,CM 是斜边 AB
4、 上的中线,MNAB,ACB 的平分线 CN 交 MN 于 N,求证:CMMN 3如图所示,以正方形 ABCD 的边 AD 为边向外作等边三角形 ADE,F 为 DE 的中点,AF 与 BE 交于 M,求证:DMBD 4已知一个直角三角形中,三条边皆为整数,一条直角边的长为 1997,那么另一条直角边的 长为多少? 5如图所示,ABC 三边的边长分别是 BC17,CA18,AB19过ABC 内的点 P 向 ABC 的三条边分别作垂线 PD、PE、PF(D、E、F 为垂足),且 BDCEAF27求 BDBF 的 长 6如图所示,在ABC 中,ABAC5,点 P 是 BC 边上的任意一点,求证:P
5、A2PBPC 是定 值 第四第四套套 1如图所示,在ABC 中,ACBC5,ACB80,O 为ABC 内一点,OBA10, OAB30求 BO 的长 2如图所示,设点 P 为ABC 内一点,PBA10,PCB30,BAP20,CBP40, 求证:ABC 是等腰三角形 提示:外心(外接圆的圆心)定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形 的外心 3如图所示,请求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也 平行 4任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖 住,然后用一枚针去扎这一堆纸片证明:不论针尖落在哪一点,总不能一次把
6、六个纸片全部扎 中 5请求证:若梯形两底的和等于一腰,则这腰同两底所夹的两角的平分线必过对腰的中点 答案答案 第一第一套套 1BECFEF提示:因为 BD 是角平分线,所以EBDDBCABC;因为 EFBC, 所以EDBDBC,所以EBDEDB,所以 EBED同理,FCDF又因为 ABAC,所以 ABCACB,所以EBDEDBFCDFDCABCACB,所以 DBCDCBABCACB因为DBCDCB,所以 BDDC在EBD 和FCD 中, EBDFCD,BDDC,EDBFDC,所以EBDFCD,所以 DEDFEF,因此 BECF EF 2等腰三角形提示:(1)在等腰直角三角形 ABC 中,CAB
7、ABC45,因为 BFAC, 所以CBF90,所以BDEDFB45,所以 BFBD,因此ACDCBF(SAS),可得 CDABFC,所以 ADCF(2)因为 AB 垂直平分 DF,所以 ADAF;又因为 ADCF,所以 ACF 为等腰三角形 3提示:作 DE 垂直于 BA、交 BA 的延长线于点 E,作 DF 垂直于 BC、交 BC 于点 F因为 BD 平分ABC,所以 DEDF;又因为BAD 与BCD 互补,所以EADDCB所以EAD FCD(AAS),即 ADCD 4提示:在 BD 上取一点 F,使得 PEPF,连接 CF因为 PG 垂直平分 BC,所以 PBPC; 又因为 PBPC,BP
8、ECPF,PEPF,可得PBEPCF(SAS)所以 BECF,PBEPCF因为 CDFAABD2PBCPBEPBCPCBPCFPBCBCFCFD,所以 CDCF, 因此 BECD 5提示:在 AB 上截取 AFAC,连接 DF易证ADFADC,所以 FDCD,ADCADF因为ADC1B,BFD1ADF,所以BFDB,由此可得 BDDF,所以 BDDC 6ADEFMN提示:ADEF,过点 E 作 EGAD 交 AD 于点 G,EQAB 交 AB 于 点 Q,过点 B 作 BPMN因为 ABCB,NABMCB,ANCM,所以NABMCB,所以 NBAMBC,BNBM因为MBCABM90,所以NBA
9、ABM90,所以NBM90, MBN 为等腰直角三角形且 BPMN,BPMN因为NPB 为等腰直角三角形,所以PNB45; 因为 EN 平分DNM,所以 EGEF,AGEAQE90;因为ADBABD45,所以DGE 与 BQE 都为等腰直角三角形,DGEGEF,QEB45,所以 AGADDGADEF,又因为 GAQ90,四边形 AGEQ 为矩形,所以 QEAG 且 QEAGADEF,GNEQEN,QENENF;因为 BNEENFPNB,BENQENQEB,又因为PNBQEB45,所以 BNEBEN,BNBE,所以BEQNBP,EQBPMN,ADEFMN 第二第二套套 1提示:延长 CE 到点
10、F,使 CF2CE在AEC 和BEF 中, CEEF,AECBEF,AEEB,所以AECBEF,可得 BFACABBD,CAEFBE因 为CBDCABACB,CBFCBAABF,ACBABC,所以CBDCBF在CBF 和 CBD 中,BFBD,CBDCBF,CBCB,所以CBFCBD,可得 CFCD,因此 CD2CE 2提示:作 FQBD 于点 Q,由 DEAC 可得DEC90,由 FGCD,CDBD,得 BDFG,BDCFGC90,因此 QFCD,QFDG,BGFC又因为 F 为 BC 边的中点,所以 BFFC,易证BQFFGC,可得 QFGC,则 QFDG,DGGC在 RtDEC 中,G
11、为 DC 中点, 所以 DGEG 3提示:延长 AH 交 BC 于 N,延长 AK 交 BC 于 M因为 BH 平分ABC,可得 ABHNBH因为 BHAH,所以AHBNHB,可证ABHNBH(ASA),所以 AHHN同理可得 AKKM,因此 KH 是AMN 的中位线,可得 KHMN,即 KHBC 4提示:取 DC 的中点 F,连接 EF,则 EF 为ADC 的中位线,所以 EFAD 且 EFAD因 为 ADBC,所以 EFBC;又因为CBE30,所以 EFBE,因此 ADBE 5提示:延长 AC、BD 交于点 F,因为 BDAO,所以ABDAFD(ASA),则ABF 为等腰 三角形且 BDD
12、F又因为 E 为 BC 中点,所以 ED 是BCF 的中位线,因此 DECF(AFAC)(ABAC) 6提示:连接 BE,取其中点为 R,再连接 MR,连接 PN、NQ、QR、RP在ABE 中,因为 M、R 分别为 AB、BE 的中点,则 MRAE又因为 N、P、R、Q 分别为各边上的中点,所以四边 形 PNQR 为平行四边形,可得平行四边形的两条对角线 RN、PQ 互相平分又因为 L 为 PQ 中点, 所以 L 为 RN 的中点在MNR 中,因为 K、L 分别为 MN、RN 的中点,所以 KLMR,KLMR,因此 KLAE 且 KLAE 第三第三套套 1提示:作 AECD,垂足为 E,作 A
13、FBC,垂足为 F因为 ABAC,故 BAFBAC10,又ACDBDCDAC302010,从而BAFACD,所以 Rt AFCRtCEA,CFAE,但是 CFBC,AEAD,故 BCAD 2提示:作 CHAB,垂足为 H,因为 ACBC,所以BCHA因为 CM 是斜边 AB 上的中线, 故 CMAM,AACM,所以BCHACM又因为 CN 是ACB 的平分线,故ACNBCN, 所以ACNACMBCNBCH,即MCHHCN因为 MNAB,CHAB,所以 MNCH,所 以HCNN,MCNN,因此 CMMN 3提示:因为BAE9060150,且 BAADAE,所以ABEAEB(180 150)15因
14、为 F 是等边三角形 ADE 边 DE 的中点,所以 AF 垂直平分 DE,EAF30,所 以DMFEMFEAMAEB301545;所以EMD454590,故 DMBE又因 为DBMDBAEBA30,所以 DMBD 41994004提示:设斜边为 y,另一条直角边为 x,y2x219972,(yx)(yx) 19972(因为 1997 为质数所以只能拆成 1 和 1997 的平方,显然 yxyx,所以 yx1;又 因为 yx1,yx199723988009,所以 518提示:设 BDx,CEy,AFz,则 DC17x,AE18y,FB19z,连接 PB、PC在 RtPBD 和 RtPFB 中,有 x2PD2(19z)2PF2,同理有 y2PE2(17x) 2PD2,z2