《山东省冠县武训高级中学高二数学复习导学案：1-2 第1课时 等差数列的概念及通项公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省冠县武训高级中学高二数学复习导学案：1-2 第1课时 等差数列的概念及通项公式（54页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 第 1 课时 等差数列的概念及通项公式知能目标解读知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：如果一个数列，不
2、是从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.一个数列从第 2 项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(nN+)或者 d=an-an-1 (nN+且 n2).（2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数 n,an+1-an是同一个常数(或 an-an-1 (n1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与 n 无关的常数.注意:判
3、断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d 为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明 an+1-an或 an-an-1 (n1)不是常数，而是一个与 n 有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：an是等差数列，an-an-1=d,an-1-an-2=d,an-2-an-3=d,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：an是等差数列，an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d.即 an=
4、a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：an是等差数列，则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.（2）通项公式的变形公式高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 在等差数列an中，若 m，nN+，则 an=am+(n-m)d.推导如下：对任意的 m,nN+，在等差数列中，有am=a1+(m-1)d an=a1+(n-1)d 由-得 an-am=(n-m)d,an=am+(n-m)d.注意：将等差数列的通项公式 a
5、n=a1+(n-1)d 变形整理可得 an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d0 时)或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差 d 是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d= (nm).mnaamn （3）通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差;可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由 an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线 y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点
6、的横坐标是些正整数，其中公差 d 是该直线的斜率，即自变量每增加 1，函数值增加 d.当 d0 时，an为递增数列，如图（甲）所示.当 d0 时，an是数列；当 d=0 时，an是数列；当 d11,即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.说明 关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用 4 2012 年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有 150 个座位，从第二排起每一排都比前一排多 20 个座位，你能用 an表示第 n 排的座位数吗？第 10 排可坐多少人？分析 分
7、析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为 a1=150,公差为 d=20 的等差数列，an=a1+(n-1)d=150+(n-1)20=20n+130,则 a10=330,即第 10 排可坐 330 人.名师辨误做答名师辨误做答例 5 已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).（1）判断数列an是否为等差数列？说明理由；（2）求an的通项公式.误解 （1）an=an-1+2,an-an-1=2(为常数)，an是等差数列.（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.辨析 忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列
8、的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列an从第 2 项起，以后各项组成等差数列，而an不是等差数列，an=f(n)应该表示为“分段函数”型.正解 （1）当 n3 时，an=an-1+2,即 an-an-1=2.高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当 n=2 时，a2-a1=0 不满足上式.an不是等差数列.（2）a2=1,an=an-1+2(n3)，a3=a2+2=3.a3-a2=2.当 n3 时，an-an-1=2.an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,又 a1=1 不满足此式.1 (n=1)an= .2n-3 (n2)课堂巩固训练课堂巩固训
9、练一、选择题1.（2011重庆文，1）在等差数列an中,a2=2,a3=4,则 a10=（ ）A.12 B.14 C.16 D.18答案 D解析 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差 d.由 a2=2,a3=4 知 d=2.2324 a10=a2+8d=2+82=18.2.已知等差数列an的通项公式 an=3-2n,则它的公差为（ ）A.2 B.3 C.2 D.3答案 C解析 an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),公差为2，故选 C.3.方程 x2-6x+1=0 的两根的等差中项为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 设方程 x2-6x+1=0 的两根为 x1、x2,
10、则 x1+x2=6.其等差中项为=3.221xx 二、填空题4.在等差数列an中，a2=3,a4=a2+8,则 a6=.答案 19解析 a2=3,a4=a2+8,a1+d=3 a1=-1 , 解得 .a1+3d=a1+d+8 d=4高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 a6=a1+5d=-1+20=19.5.已知 a、b、c 成等差数列，那么二次函数 y=ax2+2bx+c(a0)的图像与 x 轴的交点有 个.答案 1 或 2解析 a、b、c 成等差数列，2b=a+c,又 =4b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c)20.三、解答题6.在等差数列an中，
11、已知 a5=10,a12=31,求通项公式 an.a1+4d=10 a1=2解析 由题意得 , 解得 .a1+11d=31 d=3an=-2+(n-1)33n-5.课后强化作业课后强化作业一、选择题1.等差数列 1，-1，-3，-5，-89，它的项数为（ ）A.92 B.47 C.46 D.45答案 C解析 a1=1，d=-1-1=-2,an=1+(n-1)(-2)=-2n+3,由-89=-2n+3，得 n=46.2.如果数列an是等差数列，则（ ）A.a1+a8a4+a5 D.a1a8=a4a5答案 B解析 设公差为 d,则 a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=
12、0,a1+a8=a4+a5.3.已知数列 3,9,15,3(2n-1),那么 81 是它的第（ ）A.12 项 B.13 项 C.14 项 D.15 项答案 C解析 由 3(2n-1)=81,解得 n=14.4.在等差数列an中，a2=-5,a6=a4+6,则 a1等于（ ）A.-9 B.-8 C.-7 D.-4答案 Ba1+d=-5解析 由题意，得 ，a1+5d=a1+3d+6解得 a1=-8.5.数列an中，a1=2,2an+1=2an+1,则 a101的值是（ ）A.49 B.50 C.51 D.52答案 D高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解析 由
13、2an+1=2an+1 得 an+1-an=，21an是等差数列,首项 a1=2,公差 d=,21an=2+ (n-1)= ,21 23na101=52.231016.已知 a=,b=,则 a,b 的等差中项为（ ）231 231 A. B. C. D. 3233 22答案 A解析 =.2ba 2231 231 2232337.设数列an是递增等差数列，前三项和为 12，前三项积为 48，则它的首项为（ ）A.1 B.2 C.4 D.3答案 Ba1+a2+a3=12 a1+a3=8解析 由题设 ，,a2=4,a1a2a3=48 a1a3=12a1,a3是一元二次方程 x2-8x+12=0 的两根，又 a3a1,a1=2.8.an是首项为 a1=4,公差 d=2 的等差数列，如果 an=2012,则序号 n 等于（ ）A.1003 B.1004 C.1005 D.1006答案 C解析 a1=4,d=2,an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,2n+2=2012,n=1005.二、填空题9.三个数 lg(-),x,lg(+)成等差数列，则 x=.3232答案 0解析 由等差中项的运算式得x=0. 2)23lg()23lg( 2)23)(23lg(10.一个等差数列的第 5 项 a2=10,且 a1+a2+a3=3,则 a1=,d=.高考资源网（ ） ，您身边的高考专
