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1、第 1 页 共 9 页 学案学案 9 幂函数幂函数 导学目标： 1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx，yx2，yx3，y ，yx 的图象， 1 x 1 2 了解它们的变化情况 自主梳理 1幂函数的概念 形如_的函数叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数 2幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域值域奇偶性单调性过定点 yxRR奇 yx2R0，)偶 0，) (，0 yx3RR奇 y 2 1 x 0，)0，) 非奇 非偶 0，) yx1 (，0) (0，) (，0) (0，) 奇 (，0) (0，) (1,1) (2)所有幂函数在_上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第
2、_象限无图 象 (3)0 时，幂函数的图象通过点_，并且在区间(0，)上是 _，g(x)；f(x)g(x)；f(x)f(a1)的实数 a 2 的取值范围 1幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常 数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准 2在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在 (1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴幂函数的图象一定会出现在第一象限 内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函 数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图
3、象与坐标轴相交，则交点一定是 原点 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1右图是函数 y (m，nN*，m、n 互质)的图象，则 n m x ( ) Am，n 是奇数，且 1 m n 第 4 页 共 9 页 Cm 是偶数，n 是奇数，且 1 m n 2(2010陕西)下列四类函数中，具有性质“对任意的 x0，y0，函数 f(x)满足 f(xy) f(x)f(y)”的是( ) A幂函数B对数函数 C指数函数D余弦函数 3下列函数图象中，正确的是( ) 4(2010安徽)设 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是 ( ) 5 2 ) 5 3 ( 5 3 ) 5 2 (
4、 5 2 ) 5 2 ( AacbBabc CcabDbca 5下列命题中正确的是( ) 幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； 幂函数的图象不可能在第四象限； 当 n0 时，函数 yxn的图象是一条直线； 幂函数 yxn当 n0 时是增函数； 幂函数 yxn当 n1，则 f(x)1；若 00 时，若 f(x1)f(x2)，则 x1x2；若 0f(x3) 11(14 分)(2011荆州模拟)已知函数 f(x)(kZ)满足 f(2)0，使函数 g(x)1qf(x)(2q1)x 在区间1,2上的值域为4，？若存在，求出 q；若不存在，请说明理由 17 8 答案答案 自主梳理 1yx x 2
5、.(2)(0，) 四 (3)(0,0)，(1,1) 增函数 不过 自我检测 1B 方法一 由幂函数的图象与性质，nn(C2)n(C3)n(C4) 故 C1，C2，C3，C4的 n 值依次为 2， ，2. 1 2 1 2 方法二 作直线 x2 分别交 C1，C2，C3，C4于点 A1，A2，A3，A4，则其对应点的纵坐标显 然为 22,，22，故 n 值分别为 2， ，2. 2 1 22 1 2 1 2 1 2 2D 第一个图象过点(0,0)，与对应；第二个图象为反比例函数图象，表达式为 y ，yx1恰好符合， k x 第二个图象对应； 第三个图象为指数函数图象，表达式为 yax，且 a1，y2
6、x恰好符合，第三个图象 对应； 第四个图象为对数函数图象，表达式为 ylogax，且 a1，ylog2x 恰好符合，第四 个图象对应. 四个函数图象与函数序号的对应顺序为. 3A 4.C 5.B 课堂活动区 例 1 解 (1)设 f(x)x， 图象过点(，2)，故 2()， 22 解得 2，f(x)x2. 第 6 页 共 9 页 设 g(x)x，图象过点(2， )， 1 4 2，解得 2. 1 4 g(x)x2. (2)在同一坐标系下作出 f(x)x2与 g(x)x2的图象，如图所示 由图象可知，f(x)，g(x)的图象均过点(1，1)和(1,1) 当 x1，或 xg(x)； 当 x1，或 x
7、1 时，f(x)g(x)； 当130.7. (2)函数 yx3是增函数，0.2130 解析 根据幂函数 yx1.3的图象， 当 01 时，y1，1.30.71. 于是有 0.71.30 时，随着 x 的增大，函数值也增大， m0. 例 3 解 函数 f(x)在(0，)上递减， m22m332a0， 3 1 ) 1( a 3 1 )23( a 或 0a132a，或 a1f(a1)得Error! 解得 1a1，可知 A、B 图象不正确； D 中由 yxa 知 0c， 5 2 5 2 ) 5 2 () 5 3 ( y( )x在 x(，)递减， 2 5 ，即 cb， 5 3 5 2 ) 5 2 ()
8、5 2 ( acb. 第 8 页 共 9 页 5D 61 或 2 解析 由Error!解得 m1 或 2. 经检验 m1 或 2 都适合 7c . 1 2 又x(0,1)，故错 fx1 x1 fx2 x2 9解 设在1,1)中，f(x)xn， 由点( ， )在函数图象上，求得 n3.(4 1 2 1 8 分) 令 x2k1,2k1)，则 x2k1,1)， f(x2k)(x2k)3.(8 分) 又 f(x)周期为 2，f(x)f(x2k)(x2k)3. 即 f(x)(x2k)3(kZ)(12 分) 10解 由条件知0， 1 n22n3 n22n30，解得1f(x3)转化为 x2xx3. 解得 x3. 原不等式的解集为(，1)(3，)(12 分) 11解 (1)f(2)0，解得10 满足题设，由(1)知 g(x)qx2(2q1)x1，x1,2 第 9 页 共 9 页 g(2)1，两个最值点只能在端点(1，g(1)和顶点(，)处取得 2q1 2q 4q21 4q (8 分) 而g(1)(23q)0， 4q21 4q 4q21 4q 4q12 4q g(x)max，(12 4q21 4q 17 8 分) g(x)ming(1)23q4. 解得 q2.存在 q2 满足题意(14 分)
