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1、12018 年高考文科数学分类汇编 第三篇:函数与导数 1、选择题1.【2018 全国一卷 6】设函数若为奇函数，则曲线 321f xxaxax f x在点处的切线方程为 yf x00，ABCD2yx yx 2yxyx2.【2018 全国二卷 10】若( )cossinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是A 4B 2C3 4D3.【2018 全国三卷 9】函数422yxx 的图像大致为4.【2018 浙江卷 5】函数 y=sin2x 的图象可能是| |2xA B C D2二、填空题1.【2018 全国二卷 13】曲线2lnyx在点(1, 0)处的切线方程为_2.【2018 天津卷 1
2、0】已知函数 f(x)=exlnx，f(x)为 f(x)的导函数，则 f（1）的值为_3.【2018 江苏卷 11】若函数在内有且只有一个零点，则32( )21()f xxaxaR(0,)在上的最大值与最小值的和为 ( )f x 1,13解答题1.【2018 全国一卷 21】已知函数 eln1xf xax（1）设是的极值点求 ，并求的单调区间；2x f xa f x（2）证明：当时，1 ea 0f x 2.【2018 全国二卷 21】已知函数 32113f xxa xx（1）若3a ，求( )f x的单调区间；（2）证明：( )f x只有一个零点3 【2018 全国三卷 21】已知函数21(
3、)exaxxf x（1）求曲线( )yf x在点(0, 1)处的切线方程；（2）证明：当1a 时，( )e0f x 4.【2018 北京卷 19】设函数.2( )(31)32exf xaxaxa（）若曲线在点处的切线斜率为 0，求 a；( )yf x(2,(2)f（）若在处取得极小值，求 a 的取值范围.( )f x1x 5.【2018 天津卷 20】设函数，其中,且是公123( )=()()()f xxtxtxt123, ,t t t R123, ,t t t3差为的等差数列d（I）若求曲线在点处的切线方程；20,1,td( )yf x(0,(0)f（II）若，求的极值；3d ( )f x（
4、III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求 d 的取值( )yf x2()6 3yxt 范围6 【2018 江苏卷 17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距MPN离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为，要求均在线段CDP,A B上，均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为MN,C D（1）用分别表示矩形和的面积，ABCDCDP并确定的取值范围；sin（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位
5、面积年产值之比为求当为何值时，能使43甲、乙两种蔬菜的年总产值最大7.【2018 江苏卷 19】 （本小题满分 16 分）记分别为函数的导函数若存在，满足且( ),( )fx g x( ), ( )f x g x0x R00()()f xg x，则称为函数与的一个“S 点” 00()()fxg x0x( )f x( )g x（1）证明：函数与不存在“S 点” ；( )f xx2( )22g xxx（2）若函数与存在“S 点” ，求实数 a 的值；来源:Zxxk.Com2( )1f xax( )lng xx8.【2018 浙江卷 22】已知函数 f(x)=lnxx（）若 f(x)在 x=x1，x
6、2(x1x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若 a34ln2，证明：对于任意 k0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点49.【2018 上海卷 19】 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中的成% 0100xx员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）（单位：分钟） ， 10030,9018002300,30 )(xxxx xf而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为
7、 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：I）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？II）求该地上班族 S 的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际g x（）g x（）意义.参考答案 1、选择题 1.D 2.A 3.D 4.D 二、填空题1. 2. 3 22 xye3三解答题1解解：（1）f（x）的定义域为，f （x）=aex(0) ，1 x由题设知，f （2）=0，所以 a=21 2e从而 f（x）=，f （x）=21eln12exx211e2ex x当 02 时，f （x）0所以 f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）当
8、a时，f（x）1 eeln1ex x5设 g（x）=，则 eln1ex xe1( )ex g xx当 01 时，g（x）0所以 x=1 是 g（x）的最小值点故当 x0 时，g（x）g（1）=0因此，当时，1 ea ( )0f x 2解：解：（1）当 a=3 时，f（x）=3213333xxx ，f （x）=263xx令 f （x）=0 解得 x=32 3或 x=32 3当 x（，32 3）（32 3，+）时，f （x）0；当 x（32 3，32 3）时，f （x）1，则当时，；1(,1)xa( )0fx当时，.(1,)x( )0fx所以在 x=1 处取得极小值.( )f x若，则当时，1a
9、(0,1)x110axx 所以.( )0fx所以 1 不是的极小值点.( )f x综上可知，a 的取值范围是.(1,)方法二：.( )(1)(1)exfxaxx（1）当 a=0 时，令得 x=1.( )0fx随 x 的变化情况如下表：( ),( )fxf xx(,1)1(1,)( )fx+0( )f x极大值7在 x=1 处取得极大值，不合题意.( )f x（2）当 a0 时，令得.( )0fx121,1axx当，即 a=1 时，在上单调递增，12xx2( )(1) e0xfxx( )f xR无极值，不合题意.( )f x当，即 01 时，随 x 的变化情况如下表：12xx( ),( )fxf
10、 xx1(,)a1 a1(,1)a1(1,)( )fx+00+( )f x极大值极小值在 x=1 处取得极小值，即 a1 满足题意.( )f x（3）当 a1 时，=0，解得 x1=，x2=( )g x21 3d 21 3d 易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值 g(x1)=g()=021 3d 3 222 3(1)6 39d 9g(x)的极小值 g(x2)=g()=21 3d 3 222 3(1)6 39d 若 g(x2)0，由 g(x)的单调性可知函数 y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即，也就是，2()0,g x3 2
11、2(1)27d |10d 此时，2|dx(|) | 6 30,gdd且，3 12| |, ( 2|)6|2| 6 362 106 30dx gddd 从而由的单调性，可知函数在区间内各( )g x( )yg x1122( 2|,),( ,),(,|)dxx xxd有一个零点，符合题意所以，的取值范围是d(,10)( 10,) U6解：解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10过 O 作 OEBC 于 E，则 OEMN，所以COE=，故 OE=40cos，EC=40sin，则矩形 ABCD 的面积为 240cos（40sin+10）=800（4sincos+co
12、s） ，CDP 的面积为240cos（4040sin）=1600（cossincos） 1 2过 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10令GOK=0，则 sin0=，0（0，） 1 4 6当 0，）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 2所以 sin 的取值范围是，1） 1 4答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sincos+cos）平方米，CDP 的面积为1600（cossincos） ，sin的取值范围是，1） 1 4（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积的年产值为 3k（k0）
13、，则年总产值为 4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos） ，0，） 2设 f（）=sincos+cos，0，） ， 210则222( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 令，得 =，( )=0f 6当 （0，）时，所以 f（）为增函数； 6( )0f当 （，）时，所以 f（）为减函数， 6 2( )0，设32( )3h xxxaxa因为，且 h（x）的图象是不间断的，(0)0(1)1320hahaa ，所以存在（0，1） ，使得令，则 b00x0()0h x 03 002 e (1)xxbx1
14、1函数，2e( )( )xbf xxag xx ，则2e (1)( )2( )xbxfxxg xx ，由 f（x）=g（x）且 f（x）=g（x） ，得，即， （*）22ee (1)2xxbxax bxxx003 2003 0 2 02e e (1)2e (1)2e (1)xxxxxxaxxxxxxx此时，满足方程组（*） ，即是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个0x0x“S 点” 因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”8.解：解：（）函数 f（x）的导函数，11( )2fxxx由得，12()()fxfx1212111122xxxx因为，所以12xx12111 2xx由基本不等式得4121212122x xxxx x因为，所以12xx12256x x 由题意得12112212121()()lnlnln()2f xf xxxx
