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1、4.8 解三角形应用举例解三角形应用举例1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.3.解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清
2、量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别.( )(2)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 的关系不能确定.( )(3)若 P 在 Q 的北偏东 44，则 Q 在 P 的东偏北 46.( )(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为 ，设 为坡角，那么 cos .( )34342.在某次测量中
3、，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则BAC_.答案 130解析 由已知BAD60，CAD70，BAC6070130.3.在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离是_千米.答案 6解析 如图所示，由题意知C45，由正弦定理得，ACsin 602sin 45AC.2223264.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_ m.答案 103解析 如图，OA 为炮台，M、N 为两条船的
4、位置，AMO45，ANO60，OMAOtan 4530，ONAOtan 303010，333由余弦定理得，MN 10(m).9003002 30 10 3 3230035.甲、乙两楼相距 20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是_.答案 20米、米3403 3解析 如图，依题意有甲楼的高度为 AB20tan 6020(米)，又 CM3DB20(米)，CAM60，所以 AMCM(米)，故乙1tan 6020 33楼的高度为 CD20(米).320 3340 33题型一 测量距离问题例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 km
5、的 C、D 两点，并测得3ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求 A、B 之间的距离.思维启迪 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.解 如图所示，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD km.3在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.3sin 75sin 606 22在ABC 中，由余弦定理，得AB2()222cos 753(6 22)36 22325，33AB (km)，A、B 之间的距离为 km.55思维升华 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示
6、意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿着 DC 走到 C用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米.答案 507解析 连结 OC，在OCD 中，OD100，CD150，CDO60，由余弦定理可得OC2100215022100150 17 500，解得 OC50 127(米).题型二 测量高度问题例 2 某人在塔的正东沿着
7、南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30，求塔高.思维启迪 依题意画图，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD40 米，此时DBF45，从 C 到 D 沿途测塔的仰角，只有 B 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为 tanAEB，AB 为定值，BE 最小时，ABBE仰角最大.要求出塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需先求 BD(或BC).解 如图所示，某人在 C 处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD40，此时DBF45，过点 B 作 BECD 于E，则AEB30，在BCD 中，CD40，BCD30，DBC135，由正
8、弦定理，得，CDsinDBCBDsinBCDBD20(米).40sin 30sin 1352BDE1801353015.在 RtBED 中，BEDBsin 152010(1)(米).26 243在 RtABE 中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米).1033故所求的塔高为(3)米.1033思维升华 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进1 000 m 后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，
9、则山的高度 BC 为_ m.答案 500(1)3解析 过点 D 作 DEAC 交 BC 于 E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理得 ABADsinADBsinABD500()(m).1 000sin 150sin 1562所以在 RtABC 中，BCABsin 45500(1)(m).3题型三 测量角度问题例 3 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小
10、艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思维启迪 (1)根据题意列出小艇与轮船相遇时，小艇所行走路程 S 关于时间 t 的函数关系式，并求出 S 的最小值及小艇的速度 v；(2)根据余弦定理列出小艇速度 v 与相遇时所用时间 t 的关系式.由 v 的范围，求出相遇时所用时间 t 的最小值，并求出ABC 的各边大小，进一步确定航行方案.解 (1)设
11、相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S900t2400230t20cos9030 .900t2600t400900t132300故当 t 时，Smin10，v30.13310 3133即小艇以 30海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小.3(2)设小艇与轮船在 B 处相遇.则 v2t2400900t222030tcos(9030)，故 v2900.600t400t2040AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QEAEAQ15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 RtQPE 中，PEQEsinPQEQEsinAQCQEsin(45A
12、BC)1537.555所以船会进入警戒水域.6.(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量 cos A，cos C .121335(1)求索道 AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙
13、在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在ABC 中，因为 cos A，cos C ，121335所以 sin A，sin C .51345从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C .513351213456365由正弦定理，得ABsin CACsin BABsin C 1 040(m).ACsin B1 260636545所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A 处 130
14、t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，由于 0t，即 0t8，1 040130故当 t min 时，甲、乙两游客距离最短.3537(3)由正弦定理，BCsin AACsin B得 BCsin A500(m).ACsin B1 2606365513乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得33，解得v，500v710501 2504362514所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内.1 25043，62514
