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1、第八章第八章 立体几何立体几何8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图空间几何体的结构、三视图和直观图1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构 特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 结构 2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆 锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视 图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直 观图 3会用平行投影方法画出简单空间图形的三视 图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、 台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、 线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、 填空题中考查，以给出空间图形选
2、择其三视图或给出 三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能 力1棱柱、棱锥、棱台的概念 (1)棱柱：有两个面互相_，其余各面都是 _，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 _，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱侧棱与底面 不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫 做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 (2)棱锥：有一个面是_，其余各面都是有 一个公共顶点的_，由这些面所围成的多面 体叫做棱锥 注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点 在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫 做正棱锥 (3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之
3、间的部分，叫做棱台 注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台2.棱柱、棱锥、棱台的性质 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是_；两个底面 与平行于底面的截面是_的多边形；过不相 邻的两条侧棱的截面是_；直棱柱的侧 棱长与高相等且侧面、对角面都是_ (2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的_；棱锥的 高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个 _；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射 影也构成一个_；侧面的斜高、侧棱及底 面边长的一半也构成一个_；侧棱在底面 上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也 构成一个_ (3)正棱台的性质 侧面是全等的_；斜高相等；棱台的 高、斜高和两底面的边心距组成一个_； 棱台
4、的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个 _；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一 半也组成一个_ 3圆柱、圆锥、圆台 (1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以_的一边、_的一直角边、 _中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其 余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫 做圆柱、圆锥、圆台 (2)圆柱、圆锥、圆台的性质 圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 _、_、_；平行于底面 的截面都是_ 4球 (1)球面与球的概念 以半圆的_所在直线为旋转轴，半圆面旋转 一周形成的旋转体叫做球体，简称球半圆的圆心叫 做球的_ (2)球的截面性质 球心和截面圆心的连线_截面；球心到截 面的距离 d 与球的半径 R 及
5、截面圆的半径 r 的关系为 _ 5平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 _平行投影的投影线互相_ 6空间几何体的三视图、直观图 (1)三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这 种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是完全相同的三视图包括 _、_、_ 三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽 相等 ” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图 和侧(左)视图的宽度要相等 (2)直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规 则是： 在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内 作互相垂直的轴 Ox，Oy，
6、再作 Oz 轴，使 xOz_且yOz_ 画直观图时，把 Ox，Oy，Oz 画成对应的轴 Ox，Oy，Oz，使 xOy_，xOz_xO y所确定的平面表示水平面 已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段， 在直观图中分别画成_x轴、y轴或 z轴的 线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形 中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观 图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来 的_ 画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得 到了空间图形的直观图 注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和 投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是
7、从三个 不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一 点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是 在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的 直观图是在平行投影下画出的空间图形【自查自纠】 1(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形 2(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 (3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 4(1)直径 球心 (2)垂直于 dR2r25平行投影 平行 6(1)正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)90
8、 90 45(或 135) 90 平行于 一半下列说法中正确的是( ) A棱柱的底面一定是平行四边形 B棱锥的底面一定是三角形 C棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故 选 D.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的 是( ) A球的三视图总是三个全等的圆 B正方体的三视图总是三个全等的正方形 C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D水平放置的圆台的俯视图是一个圆 解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选 择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆故选 A.()将正方体(如图 a 所示)截去两个2012陕西三棱锥，
9、得到图 b 所示的几何体，则该几何体的侧视 图为( )解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形， AD1为实线，B1C 的正投影为 A1D，且 B1C 被遮挡为 虚线故选 B.用一张 4cm8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧 面，则圆柱轴截面的面积为_cm2(接头忽略不 计) 解：以 4cm 或 8cm 为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为cm2，故填3232已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为_ 解：如图所示是实际图形和直观图由图可知，ABABa，OC OCa，在1234图中作 CDAB，垂足为 D，则 CDOCa.2268SABC ABCD aaa2.121
10、268616故填a2.616类型一类型一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征()某几何体的正视图和侧视图2012湖南均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解：D 选项的正视图应为如图所示的图形 故选 D.【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高 考中的热点题型本题可用排除法一一验证： A，B，C 都有可能，而 D 的正视图与侧视图不可能 相同若某几何体的三视图如图所示，则这个 几何体的直观图可以是( )解：从俯视图看，B，D 符合，从正视图看，B 不符合，D 符合，而从侧视图看 D 也是符合的故选 D.类型二类型二 空间几何体的三视图空间几何体的三视图如图，某几何体的正视图
11、(主视图)是平 行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该 几何体的体积为( )A6 B933C12 D1833解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高 h，底面积为 9，所以体积 V9922133.故选 B.3【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较 为常规的考题，考生对此并不陌生对于空间几何体 的考查，从内容上看，柱、锥的定义和相关性质是基 础，以它们为载体考查三视图、体积是重点本题给 出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对 正、高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱 柱如图所示的三个直角三角形是 一个体 积为 20cm3的几何体的三视图，则 h_cm.解：由三视图可知
12、，该几何体为三棱锥，此三棱 锥的底面为直角三角形，直角边长分别为 5cm，6cm，三棱锥的高为 hcm，则三棱锥的体积为V 56h20，解得 h4cm.故填 4.1312类型三类型三 空间多面体的直观图空间多面体的直观图如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它 的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥 画法：(1)画轴如图 1，画 x 轴、y 轴、z 轴，使 xOy45，xOz90.图 1 (2)画底面利用斜二测画法画出底面 ABCD，在 z 轴上截取 O使 OO等于三视图中相应高度，过 O作 Ox 的平行线Ox，Oy 的平行线 Oy，利用
13、 Ox与 Oy画出底 面 ABCD. (3)画正四棱锥顶点在 Oz 上截取点 P，使 PO 等于三视图中相应的高度 (4)成图连接 PA，PB，PC，PD，AA，BB，CC，DD，整理得 到三视图表示的几何体的直观图如图 2 所示图 2 【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长、 宽、高，再按照斜二测画法，建立 x 轴、y 轴、z 轴， 使xOy45，xOz90，确定几何体在 x 轴、y 轴、 z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图已知一个四棱锥的高为 3，其底面用斜 二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为 1 的正方形，则此四棱锥的体积为( )A. B6 C. D222132解：因为四
14、棱锥的底面直观图是一个边长为 1 的 正方形，该正方形的对角线长为，根据斜二测画法2的规则，原图底面的底边长为 1，高为直观图中正方 形的对角线长的两倍，即 2，则原图底面积为 S22.因此该四棱锥的体积为 V Sh 232.故2131322选 D.BIEwT类型四类型四 空间旋转体的直观图空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆 锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 116，截去的 圆锥的母线长是 3cm，求圆台的母线长解：设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底 面半径分别为 r，4r. 根据相似三角形的性质得，解得 l9.33lr4r所以，圆台的母线长为 9cm. 【评析】用平行于底面的平面去截柱、锥、台等 几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)， 同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几 何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变 量列方程求解圆锥底面半径为 1cm，高为cm，其2中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱
