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1、第二章场论J2.2数量场的方向导数和梯度1.方向导数定义1:设u为数量场u=u(M)中的一点,从点Mu出发引一条射线1,在Z上卢M的邻近取一动点M,记MoM=p,如图(2一4)。若当M_)M时,比式&_limXCMD-UCMo)/1PMo7pph的极限存在,则称它为函数u04)在点a,0图24G处沿1方向的方向导数,记作蚩,即仪(2.1)2_im2CMU)-uCMo)2.1MMoXQ.D。一由此定义可知,方向导数一是在个点M处沿方向!的函数(M)对距离的变化率故当一0时函数x沿1方向就是增加的;刍_0时,函数x沿z方向就是减少的*定理1.若函数x=x(x,y,z)在点M(xo,yo,zo)处可
2、微;cosa,cos,cosY为!方向上的方向余弦;则函数x在点烽河!方向的方向导数必存在,且由如于公步给出东=堕cos璐+亟cos婀+亟cos灾(2.2)r0Cz鬟是在点M处的偏导数。证:如图(G2-4),设动点M的坐标为M(xo+Ax,y,+Ay,z0+A2)因x在点M处可徽,故有OuuOA=u(肌)-u(Mo)=二Ar+一Ay+一Az+MJ一QMuJ一5厉不匹Q(其中e在p一0时趋于零)将上式两端除以p,得Au8uAr,BuAy,uAz一g半一e不pBx_p8pzp即竺=亟c0s酗+亟c硼婀+亟凹s/+缈/p。r习令p一0取极限,注意到此时有e一0,吊从而就得到公式(2.2)。4例1求函
3、数x=yx+尹+22在点M(1,0,1)处沿I=i+刀+2K方向的方向导数。解:O_E0_70_Z0xr、/xz+yZ+zzay/兀2+yz+zzaz、/x2+y2+z2在点M(1,0,1)处有41Bx_61#广圣吊T|52而!的方向余弦“cose=壹，cos/i已，cosy=心3由公式(2.2)就得到6112工21snaCf一s012驯323幼“定理2.若在有向曲线C上取定一点M作为计算弧长s的起点,并以C之正向取作y增大的方向;M为C上的一点,在点M处沿C之正向作一与C相切的射线!,如图(29。则在点M处,当函数x可徽、曲线C光滑时,函数u沿!方向的方向导数就等于函数x对s的全导数,即有下
4、式成立东_血命门中(2.3)证:设曲线C以s为参数的参数方程为飞万X(8),二(8),二()则沿曲线C,函数x=ux(s),y(s),z(5)又由于在点M处,函数x可微、曲线C光滑,按复合函数求导定理,即得u对s的全导数du6udr,dy,6udz一-世十十一一雯优雪助qz吴注意到瓮，寰,寰是曲线C的正向切线!的方向余弦,若将其写成cosscos,cosy,则duDuO0一=一cC0SCQ+一C08B+一coS/45Br2z与(2.2)式比较,即知有Bdu61“ds上面讲的是函数x沿直线的方向导数。此外,有时还需要研究函数u沿曲线的方向导数,其定义如下。*定弘2:如图(2-95,从点M出发沿C
5、之正向取一点M,记弧长7今As,英当Mi-siX时,比式Au_auCM)AsM7,的极限存在,则称它为函数w在点M处沿曲线C(正向的方向导数,记作A&,即心6。Au(M掣(M)心=lim万=limB5rArr071.定理3,若在点M处函数x可徽、曲线C光滑,则有东_血8d证:由于在点M处函数可微曲线C光滑,故全导数存在。而二按定义实际是一个有极限伽Hm伽854As推论:若在点M处函数x可微、曲线C光滑,则有0。0u8581这就是说:函数u在点M处沿曲线C正向)的方向导数与函数x在点M处沿切线方向(指向C的正向一侧)的方向导数相等。例2.求函数x=3x2y-y7在点M(2,3)处沿曲线y=x“-1朝x增大一方的方向导数。解:根据(2:.65式,只要求出函数u沿公线y一x-1在点M(2,3)处沿x增大方向的切线方向导数即可。为此,将所给曲线方程改写成矢量形式T二玖十伟二玑十CCD其导矢=i+2辽
