《【创新设计】2016-2017学年高二数学北师大版必修5学案：2.1.1正弦定理（二）word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【创新设计】2016-2017学年高二数学北师大版必修5学案：2.1.1正弦定理（二）word版含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 正弦定理正弦定理(二二) 学习目标 1.了解正弦定理的几何解释，并能应用它解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.理解推广的三角形面积公式，并能利用它与正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题知识链接以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 (1)在ABC 中，若，则 A90；sin Aacos Bbcos Cc(2)在ABC 中，若 sin 2Asin 2B，则 ab；(3)在ABC 中，若 sin Asin B，则 AB；反之，若 AB，则 sin Asin B；(4)在ABC 中，.asin Abcsin Bsin C答案 (2)解析 对于(1)，由正弦定理可知
2、，sin Bcos B，sin Ccos C，BC45，故 A90，故(1)正确对于(2)，由 sin 2Asin 2B 可得 AB 或 2A2B，ab 或 a2b2c2，故(2)错误对于(3)，在ABC 中，sin Asin BabAB，故(3)正确对于(4)，因为，asin Absin Bcsin C所以，故(4)正确asin Abcsin Bsin C预习导引1正弦定理的常见变形(1)sin Asin Bsin Cabc ；(2)2R；asin Absin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，si
3、n B，sin C.a2Rb2Rc2R2三角形的面积公式对于任意ABC，若 a，b，c 为三内角 A，B，C 的对边，则ABC 的面积 S ah absin 1212C bcsin A casin B.12123三角变换公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)sin()sin cos cos sin ；(3)sin 22sin cos .要点一 利用正弦定理判断三角形的形状例 1 在ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC 的形状解 方法一 在ABC 中，根据正弦定理：2R(R 为ABC 外接圆的asin Absin
4、 Bcsin C半径)sin2Asin2Bsin2C，()2()2()2，即 a2b2c2.a2Rb2Rc2RA90，BC90.由 sin A2sin Bcos C，得 sin 902sin Bcos(90B)，sin2B .12B 是锐角，sin B，22B45，C45.ABC 是等腰直角三角形方法二 在ABC 中，根据正弦定理：sin A，sin B，sin C.a2Rb2Rc2Rsin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC 是直角三角形，且 A90.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0
5、，即 sin(BC)0.BC0，即 BC.ABC 是等腰直角三角形规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC 这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解跟踪演练 1 在ABC 中，已知 a2tan Bb2tan A，试判断ABC 的形状解 在ABC 中，由正弦定理得，asin Absin
6、 B ，.absin Asin Ba2b2sin2Asin2B又a2tan Bb2tan A，a2b2tan Atan B，tan Atan Bsin2Asin2Bsin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B.2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB .2ABC 为等腰三角形或直角三角形要点二 利用正弦定理求最值或范围例 2 在锐角ABC 中，角 A，B，C 分别对应边 a，b，c，且 a2bsin A，求 cos Asin C的取值范围解 设 R 为ABC 外接圆的半径a2bsin A，2Rsin A4Rsin Bsin A，sin B .12B 为锐角，B .6
7、令 ycos Asin Ccos Asin(BA)cos Asin( A)6cos Asin cos Acos sin A66 cos Asin Asin(A )323233由锐角ABC 知， B0，所以 0b，AB.B 只有一解B45.7已知一三角形中 a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角3形解 a2，b6，ab，A3090.3又因为 bsin A6sin 303，absin A，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B，故 B60或 120.bsin Aa6sin 302 332当 B60时，C90，c4；a2b23当 B120时，C30，ca2.3所以 B60，C90
8、，c4或3B120，C30，c2.3二、能力提升8在ABC 中，则ABC 一定是( )acos Bbcos AA等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形答案 D解析 在ABC 中，acos Abcos B，acos Bbcos A由正弦定理，得 2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，sin 2Asin 2B.2A2B 或 2A2B180，AB 或 AB90.故ABC 为等腰三角形或直角三角形9在ABC 中，若 tan A ，C150，BC1，则 AB 等于 ( )13A2 B. C. D4103102答案 C解析 tan A ，A(0，180)，sin A
9、.131010由正弦定理知，BCsin AABsin CAB.BCsin Csin A1 sin 150101010210在ABC 中，若 A ，BC3，则ABC 的周长为 (用 B 表示)3答案 6sin(B )36解析 在ABC 中，由正弦定理得，ACsin B332化简得 AC2sin B，由，3ABsinB3332化简得 AB2sin(B)，323所以三角形的周长为：3ACAB32sin B2sin(B)332333sin B3cos B6sin(B )3.3611不解三角形，判断下列三角形解的个数(1)a5，b4，A120；JJD(2)a9，b10，A60；(3)c50，b72，C1
10、35.解 (1)sin B sin 120 ，ba45322 35ab，B 为锐角，三角形有一解(2)sin B sin 60，而180，故三角形无解12已知ABC 的面积为 1，tan B ，tan C2，求ABC 的各边长以及ABC 外接圆12的面积解 tan B 0，B 为锐角12sin B，cos B.552 55tan C2，C 为钝角sin C，cos C.2 5555sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C .55(55)2 552 5535SABC absin C2R2sin Asin Bsin C122R2 1.35552 55R2，R.25125 36R2，即外接圆的面积为.25122512a2Rsin A，b2Rsin B，3153c2Rsin C.2 153三、探究与创新13在ABC 中，已知 c10，又知 ，求 a、b 及ABC 的内切圆半径cos Acos Bba43解 由正弦定理知 ，.sin Bsin Abacos Acos Bsin Bsin A即 sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.又ab，2A2B，即 AB .2ABC 是直角三角形，且 C90，由Error!Error!得 a6，b8.故内切圆的半径为 r2.abc268102
