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1、第十二篇 统 计 第 1 讲 随机抽样 知 识 梳 理 1简单随机抽样 (1)定义：一般地，从个体数为 N 的总体中逐个不放回地取出 n 个个体作为样本 (nB，因此 A 药的疗效更好 xx (2)由观测结果绘制如下茎叶图： 从茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2,3 上；B 药疗效 7 10 的试验结果有的叶集中在茎 0,1 上 7 10 由上述可看出 A 药的疗效更好 规律方法 茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的 位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏， 特别是“叶”的位置的数据 【训练 2】 (2013重庆卷)
2、如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎 叶图，则数据落在区间22,30)内的频率为_ 解析 由茎叶图知落在区间22,30)内的数据有 22,22,27,29，共 4 个，因为共有 10 个数据，所以数据落在区间22,30)内的频率为0.4. 4 10 答案 0.4 学生用书第 167 页 考点三 样本的数字特征 【例 3】 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图 (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价 解 (1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10 分，13 分，12 分，14 分
3、，16 分； 乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分. 甲 13， x 1013121416 5 乙 13， x 1314121214 5 s (1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24， 2 甲 1 5 s (1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8. 2 乙 1 5 (2)由 ss可知乙的成绩较稳定 2 甲2 乙 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩 在不断提高，而乙的成绩则无明显提高 规律方法 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它 们所反映的情况有着重要的
4、实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势， 方差和标准差描述其波动大小 【训练 3】 (2013山东卷改编)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个 最低分，7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数 据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示： 则 7 个剩余分数的方差为_ 解析 由题意知91，解得 x4.所以 879490919090x91 7 S2 (8791)2(9491)2(9091)2(9191)2(9091)2(9491) 1 7 2(9191)2 (16910190) . 1 7 36 7 答案 36 7 1茎叶图、频率分布表和频率
5、分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况 的茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而 频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才 能制作 2众数、中位数、平均数的异同 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的 量 (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引 起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质 (3)众数体现各数据出现的频率，当一组数据中有若干数据多次出现时，众数往 往更能反映问题 (4)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不 在所给数据中，当一组
6、数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中 趋势 易错辨析 7统计图表识图不准致误 【典例】 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50 名学生的高校招生体检 表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示： 若某高校 A 专业对视力的要求在 0.9 以上，则该班学生中能报 A 专业的人数为 _ 解析 该班学生视力在 0.9 以上的频率为(1.000.750.25)0.20.4，故能 报 A 专业的人数为 0.45020. 答案 20 易错警示 解题中易出现审题不仔细，又对所给图形没有真正理解清楚，将 矩形的高误认为频率或者对“0.9 以上”的含义理解有误 防范措施 求解频率分布直方图
7、中的数据问题，最容易出现的问题就是把纵轴 误以为是频率导致错误在频率分布直方图中，纵轴表示，我们用各个小 频率 组距 矩形的面积表示该段数据的频率，所以各组数据的频率等于小矩形的高对应的 数据与小矩形的宽(样本数据的组距)的乘积 【自主体验】 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组 区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，那么图中 a 的值等于 _ 解析 由频率分布直方图可知，(0.040.030.022a)101.所以 a0.005. 答案 0.005 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、填空题 1(2014潮
8、州二模)有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶 10 次，每次命 中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则甲、乙成绩较稳定的是_ 答案 乙 2(2014常州模拟)如图为某个容量为 100 的样本的频率分布直方图，分组为 96,98)，98,100)，100,102)，102,104)，104,106，则在区间98,100)上的数据 的频数为_ 解析 在区间98,100)上矩形的面积为 0.120.2，所以在区间98,100)上的频 率为 1000.220. 答案 20 3. (2014临沂一模)某中学高三从甲、乙两个班中各选出
9、 7 名学生参加数学竞赛， 他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85， 乙班学生成绩的中位数是 83，则 xy 的值为_ 解析 由茎叶图可知，甲班学生成绩的众数是 85，所以 x5.乙班学生成绩的 中位数是 83，所以 y3，所以 xy538. 答案 8 4(2014惠州模拟)甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四 人的平均成绩和方差如下表： 甲乙丙丁 平均成绩x86898985 方差 s22.13.52.15.6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是_ 答案 丙 5甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统
10、计图如图所示， 则下列说法正确的是_ 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数；甲的成绩的中位数等于乙的成 绩的中位数；甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差；甲的成绩的极差小于 乙的成绩的极差 解析 由条形统计图知： 甲射靶 5 次的成绩分别为：4,5,6,7,8； 乙射靶 5 次的成绩分别为：5,5,5,6,9； 所以 甲 6； x 45678 5 乙 6. x 55569 5 所以 甲乙故不正确甲的成绩的中位数为 6，乙的成绩的中位数为 5，故 xx 不正确 s (46)2(56)2(66)2(76)2(86)2 102， 2 甲 1 5 1 5 s (56)2(56)2(56)2(66)2(96
11、)2 12，因为 2 乙 1 5 1 5 12 5 2， 12 5 所以 ss.故正确 2 甲2 乙 甲的成绩的极差为：844， 乙的成绩的极差为：954， 故不正确 答案 6在如图所示的茎叶图表示的数据中，众数和中位数分别是_ 解析 观察茎叶图可知，这组数据的众数是 31，中位数是 26. 答案 31,26 7(2013湖北卷)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都 在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示 (1)直方图中 x 的值为 _； (2)在这些用户中，用电量落在区间100,250内的户数为_ 解析 (1)根据频率和为 1，得(0.002 40.00
12、3 60.006 0x0.002 40.001 2) 501，解得 x0.004 4. (2)(0.003 60.004 40.006 0)5010070. 答案 0.004 4 70 8(2014泉州二模)从某项综合能力测试中抽取 50 人的成绩，统计如表，则这 50 人成绩的平均数等于_、方差为_. 分数54321 人数10515155 解析 平均数为：3； 5 104 53 152 151 5 50 方差为：(53)210(43)25(33)215(32)215(31)25 1 50 1.6. 答案 3 1.6 二、解答题 9某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和
13、频率分布直方 图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题： (1)求分数在50,60的频率及全班人数； (2)求分数在80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中80,90间的矩形的 高 解 (1)分数在50,60的频率为 0.008100.08. 由茎叶图知，分数在50,60之间的频数为 2，所以全班人数为25. 2 0.08 (2)分数在80,90之间的频数为 25271024，频率分布直方图中80,90 间的矩形的高为100.016. 4 25 10(2014大连模拟)从某校高三年级 800 名男生中随机抽取 50 名学生测量其身 高，据测量，被测学生的身高全部在 155
14、cm 到 195 cm 之间将测量结果按如 下方式分成 8 组：第一组155,160)，第二组160,165)，第八组190,195， 下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分已知第一组与第八组的人 数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差 求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图 频率分布表： 分组频数频率频率/组距 180,185)xyz 185,190)mnp 解 由频率分布直方图可知前五组的频率和是(0.0080.0160.040.040.06) 50.82，第八组的频率是 0.00850.04，所以第六、七组的频率和是 10.820.040.14
15、，所以第八组的人数为 500.042，第六、七组的总人数 为 500.147. 由已知得 xm7，mx2m， 解得 x4，m3， 所以 y0.08，n0.06，z0.016，p0.012. 补充完成频率分布直方图如图所示 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、填空题 1. (2012陕西卷改编)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额 进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)设甲乙两组数据的平均数分别 为 甲，乙，中位数分别为 m甲，m乙，则甲_乙，m甲_m乙(比较大小) xxxx 解析 甲 x (41433030382225271010141818568) 1 16 ， 345 1
