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1、多元概念多元概念,极限极限,连续好连续好56372331 1 多元函数的概念多元函数的概念 一、多元函数的概念一、多元函数的概念以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等.注注2, 说说明明二二元元函函数数是是一一元元函函数数的的推推广广, 而而一一元元函函数数则则是是二二元元函函数数的的特特殊殊情情形形. 一一元元函函数数是是定定义义在在 xy 面面上上一一条条直直线线(x 轴轴)上上的的二二元元函数函数.类似的类似的, 有有 n 元函数
2、定义元函数定义.设D Rn , 若对任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数. 记作f : D R , X = (x1, x2, , xn) z .并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn).定定 义义解解解解: : 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.例例例例1. 1. 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0画直线
3、y1 = x. 由于 D 中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = x 上点的纵坐标 y1, 故 D 表示直线 y1 = x 上方点的集合. (不包括边界y1 = x上的点)为画 D 的图形, 由x + y 0, 得 y x = (y1).x + y = 0xyo如图y xD(不包括直线x + y = 0)例例例例2. 2. 解解解解: :故故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括圆周). xyox2 + y2 = 1(包括圆周)D 二、平面区域二、平面区域1. 邻域邻域: 以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以 为半径的圆内部点的全体称为
4、X0 的 邻域.即记 (X0, ) = U (X0, ) X0 , 称为 X0 的去心 邻域.如图X0X0U (X0, ) (X0, ) 当不关心邻域半径时, 简记为U (X0 )和 (X0).2. 内点内点: :设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存存在在邻域 U(X0 , ) E , 则称 X0 为 E 的内点.E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0.D = (x, y)| x2 + y2 1 如图xyox2 + y2 = 111D易易知知, 圆圆内内部部的的每每一一点点都都是是 D 的的内内点点. 但但圆周上的点不是圆周上的点不是 D 的内点的内点.x
5、+ y = 0xy0如图D又如 z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D, 但直线上的点不是D的内点.3. 边界点边界点:设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任任何何邻域 U(X0 , )内既有属于 E 的点, 又有不属于 E的点, 则称 X0 为 E 的边界点.E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界. 记作 E.如, 例1中定义域 D 的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图xyo11x2
6、+ y2 = 1Dx + y = 0xyoE 的边界点可以是的边界点可以是 E 中的点中的点, 也可以不是也可以不是 E 中的点中的点.D4. 开集开集 设 E 是一平面点集, 若 E 中每一点都是 E 的内点.即 E E0, 则称 E 是一个开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0 E = E0故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D = D0 ), 而例2中 D 不是开集.若E = E0 , 则称 E 是一个开集.规定, , R2为开集.xyoE又比如, E 如图若若 E 不不包包含含边边界界, 则则 E 为为开开集集. 若若 E 包包含含边边界界, 则则 E 不不是是开开集集
7、. 结论结论: : 非空平面点集非空平面点集 E 为开集的充要为开集的充要条件是条件是 E 中每一点都不是中每一点都不是 E 的边界点的边界点. 即即 E 不含有不含有 E 的边界点的边界点.证证:必要性必要性. 设 E 为开集, X E,由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E 的边界点.充分性充分性. 若 E 中每一点都不是 E 的边界点. 要证 E 为开集. X E,由于 X 不是 E 的边界点. 故必存在X的一个邻域U(X, ),在这个邻域 U(X, )内或者全是 E 中的点. 或者全都不是 E 中的点, 两者必居其一.由 于X E, 故后一情形不会发生.因此, U(X,
8、)内必全是 E 中的点. 故 X E0, 即, E E0 , 所以 E 是开集.5. 连通集连通集 设 E 是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于 E 的折线将它们连接起来, 则称 E 为连通集.如图XYE 连通YXE 不连通从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接.例1, 2中的 D 都是连通集. 如图x + y = 0xyoxyo11x2 + y2 = 16. 开开区区域域(开开域域)设 E 是一平面点集. 比如, 例1中 D 是开区域. 如图. E 从 几 何 上 看 , 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.若 E 是连通
9、的非空开集, 则称 E 是开区域.7. 闭闭 区区 域域 (闭闭 域域)若 E 是开域, 记称为闭区域.如图. E 易见, 例2中的 D 是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.8. 设 E R2, 若存在 r 0, 使 E U(O, r), 则称 E 为有界集. 否则称 E 为无界集.易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.9. 聚点聚点.设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一任一邻域内总有无限多个点属于 E . 则称 X0 是E 的一个聚点.从几何上看,
10、所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点. 即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.X0如图1. 聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于异于 X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证).2. E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E .3. E 的内点一定是 E 的聚点.4. 若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点.即, 区域中的任一点都是该区域的聚点.一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证.邻邻邻邻域域域域,
11、 , 内内内内点点点点, , 边边边边界界界界点点点点, , 开开开开集集集集, , 连连连连通通通通, , 有有有有界界界界, , 开开开开区区区区域域域域, , 闭闭闭闭区区区区域域域域, , 聚聚聚聚点点点点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义. 三、二元函数的几何意义三、二元函数的几何意义设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z). 当 X 在 D 中
12、变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动, 当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中 织 出一片曲面.即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xy 面上的投影区域.XDM (x, y, z)yxzoz = f (X) = f (x, y)如 z = ax +by + c , 表平面表平面.注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的一个子集.三元函数无几何意义.332 2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 一、二元函数的极限一、二元函数的极限回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边还是
13、从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0xxx x0就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX0Ayzxof (X)类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 0, 0, 当对应的函数值满足| f (X)
14、 A | 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.记作或也可记作 f (X) A(X X0), 或, f (x, y) A (x x0, y y0 ) 定义定义1注注1. 定义1中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了保证 X0的任意近傍总有点X使得f (X)存在, 进而才有可能判断 | f (X) A | 是否小于 的问题.若D是一区域. 则只须要求就可保证 X0 是D的一个聚点.另外, 0 |X X0 | 0, 时, 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得当要使 | f (x, y) 0 | , 只须即| f (x, y) 0 | 故例例2. 设f (x,
15、 y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证: 由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值xoy从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 0沿 y 轴, x = 0. 函数极限= 0
16、但不能由此断定该二重极限为0 (注2).例例3. 解解:原式 = = 0 1 = 0例例4. 解解:原式 = 例例5. 解解:原式 = 故例5似可用下述方法算.从而 (1)函数定义域外, 它们不是点(x, y)趋于(0, 0)时的路径.则必须包括 x 轴和 y 轴这两条路径(在这个函数的定义域内).应补充讨论: 当 (x, y)沿 x 轴(y = 0)趋于(0, 0)时,有 (2)当 (x, y) 沿 y 轴 (x = 0)趋于(0, 0)时,有 (3)综合得(1), (2), (3),这一方法是否具有普遍性? 即, 是否总有初学者在算二重极限时, 容易引出下面算法:如= 0实质上, 就是 设
17、 z = f (X) = f (x, y)在区域 D 上有定义, X0 = (x0, y0)为D的内点. 四、二次极限四、二次极限考虑 X = (x, y)沿两条特殊路径趋近于X0 = (x0, y0)时 f (x, y)的极限. 情形相当于下图对应的函数极限为称为先对 x , 后对 y 的二次极限.(1) 先固定 y, 令 x x0, 即, 让点(x, y)沿平行于 x 轴的直线趋于点 (x0, y) , 然后, 再令 y y0, xyo(x0, y)(x, y)(x0, y0)(2) 先固定 x , 令 y y0, 即, 让点(x, y)沿平行于 y 轴的直线趋于点 (x, y0) , 然
18、后, 再令 x x0, 情形相当于下图xyo(x, y0)(x, y)(x0, y0)对应的函数极限为称为先对 y , 后对 x 的二次极限.由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限. 有,1. 二二次次极极限限不不一一定定等等于于二二重重极极限限.如例2中, = 0= 0但二重极限不存在.2. 两两个个二二次次极极限限不不一一定定相相等等.(如二重极限不存在时, 二次极限可能不相等.)即在很多情形中,所以, 不能随便交换极限的顺序.例7解解由于两个累次极限不相等, 故定理定理若累次极限 二重极限存在不一定能推出累次极限存在.例8但即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.请同学们讨
19、论函数时的两类极限.当定义定义2 二、二元函数的连续性二、二元函数的连续性设 z = f (X) = f (x, y), 在区域D上有定义.则称 f (X) 在 X0 连续, X0 称为 f (X) 的连续点. 否则称 f (X) 在 X0 间断, X0 称为 f (X) 的间断点. X = (x, y) D, X0 = (x0, y0) D, 若若 f (X) 在在 D 上上每每一一点点都都连连续续, 则则称称 f (X) 在在 D 上连续上连续, 记为记为 f (X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在), 每一点都间断.注注1. 二二元元函函数数
20、 f (X)在在 X0 连连续续必必须须满满足足三三个个条条件件. 在在 X0 有定义有定义, 在在 X0 的极限存在的极限存在, 两者相等两者相等, 2. 多元连续函数的和多元连续函数的和, 差差, 积积, 商商(分母不为分母不为0)以以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数及多元连续函数的复合仍是多元连续函数. 定义可推广到三元以上函数中去.3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x, y, z, 为自变量的基本初等函数 f (x), (y), g(z), 以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数.如 f (x)
21、 = exy sin(x2+y), = e0 sin0 = 0. 4. 二元连续函数的几何意义二元连续函数的几何意义:定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.例例. 设 D = (x, y) | x, y 均为有理数 R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即f (x, y) = 1, 当(x, y) D时,无定义, 当(x, y) D时. 如图xyzo1可知, (x0, y0) D,但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面. 三、有界闭区域上二元连续函数的性质三、有界闭区域上二元连续函数的性质性质性质1. 性质性质2. 有界闭域有界闭域 , 连续连续 , 有界闭域有界闭域 , 连续连续 , 性质性质3. 使 f (X0) = C.这些定理都可推广到三元以上的函数中去.有界闭域有界闭域 , 连续连续 , 问问, 由性质由性质3是否可得到是否可得到 根的存在定理根的存在定理 , 如何表述如何表述?
