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1、第 1 讲 直线的方程知 识 梳 理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0.倾斜角的范围为0，)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan ，倾斜角是 90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k.y2y1x2x12直线方程的五种形式名称方程适用范
2、围点斜式yy1k(xx1)不含垂直于 x 轴的直线斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式 yy1y2y1xx1x2x1不含垂直于坐标轴的直线截距式 1xayb不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A、B 不能同时为 0)所有直线都适用3.过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若 x1x2，且 y1y2时，方程为.yy1y2y1xx1x2x1(2)若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于 x 轴，方程为 xx1.(3)若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于 y 轴，方程为 yy1.4线段的中点坐标公式若点 P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2
3、)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为(x，y)，则Error!Error!此公式为线段 P1P2的中点坐标公式辨 析 感 悟1对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)过点 M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是 45.()(3)(教材习题改编)若三点 A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则 a 的值为2.()2对直线的方程的认识(4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)
4、表示()(6)直线 l 过点 P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为xy30.()感悟提升1直线的倾斜角与斜率的关系 斜率 k 是一个实数，当倾斜角 90时，ktan .直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为 90的直线无斜率，如(1)2三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为 0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一 直线的倾斜角和斜率【例 1】 (1)直线 xsin y20 的倾斜角的取值范围是_(2)若直线
5、 l 与直线 y1，x7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为_解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin ，其中 sin 1,1，又0，)，所以 0 或0，bc0，bc0；ab0；ab0；令 y0，x 0.即 bc0，ac0，从而cbcaab0.答案 7(2014淮阳模拟)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_解析 设直线的斜率为 k，如图，过定点 A 的直线经过点 B 时，直线 l 在 x 轴上的截距为 3，此时 k1；过定点 A 的直线经过点 C 时，直线 l 在 x 轴的截距为
6、3，此时 k ，满足条件的直线 l 的斜率范围是(，1).12(12，)答案 (，1)(12，)8一条直线经过点 A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为_解析 设所求直线的方程为 1，xaybA(2,2)在直线上， 1.2a2b又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1， |a|b|1.12由可得(1)Error!Error!或(2)Error!Error!由(1)解得Error!Error!或Error!Error!方程组(2)无解故所求的直线方程为 1 或1，x2y1x1y2即 x2y20 或 2xy20 为所求直线的方程答案 x2y20 或 2xy20二、解答
7、题9(2014临沂月考)设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围解 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 0，当然相等a2，方程即为 3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为 0，得a2，即 a11，a2a1a0，方程即为 xy20.综上，l 的方程为 3xy0 或 xy20.(2)将 l 的方程化为 y(a1)xa2，Error!Error!或Error!Error!a1.综上可知 a 的取值范围是(，110已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x
8、 轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，O为原点，是否存在使ABO 面积最小的直线 l？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解 存在理由如下：设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)，则 A，B(0,12k)，AOB 的(21k，0)面积 S (12k) (44)4.当且仅当12(21k)1244k(1k)124k ，即 k 时，等号成立，故直线 l 的方程为 y1 (x2)，即1k1212x2y40.能力提升题组MC(建议用时：25 分钟)一、填空题1(2014北京海淀一模)已知点 A(1,0)，B(cos ，sin )，且|AB|，则直线3AB 的方程为_解析 |AB|，
9、所以 cos ，sin cos 12sin222cos 312，所以 kAB，即直线 AB 的方程为 y(x1)，所以直线 AB 的方323333程为 yx或 yx.33333333答案 yx或 yx333333332若直线 l：ykx与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，则直线 l 的3倾斜角的取值范围是_解析 如图，直线 l：ykx，过定点 P(0，)，又 A(3,0)，kPA，则直线3333PA 的倾斜角为 ，满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是.6(6，2)答案 (6，2)3已知直线 x2y2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 a
10、b 的最大值为_解析 直线方程可化为 y1，故直线与 x 轴的交点为 A(2,0)，与 y 轴的交点x2为 B(0,1)，由动点 P(a，b)在线段 AB 上，可知 0b1，且 a2b2，从而a22b，故 ab(22b)b2b22b22 ，由于 0b1，(b12)12故当 b 时，ab 取得最大值 .1212答案 12二、解答题4.如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角，过点 P(1,0)作直线 AB分别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y x 上时，求12直线 AB 的方程解 由题意可得 kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线33lOA：yx，lOB：yx，33设 A(m，m)，B(n，n)，3所以 AB 的中点 C，(m 3n2，mn2)由点 C 在 y x 上，且 A，P，B 三点共线得12Error!Error!解得 m，所以 A(，)333又 P(1,0)，所以 kABkAP，3313 32所以 lAB：y(x1)，3 32即直线 AB 的方程为(3)x2y30.33
