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1、第 4 讲 幂函数与二次函数知 识 梳 理1幂函数(1)幂函数的定义形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数(2)常见的 5 种幂函数的图象(3)常见的 5 种幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yx12yx1定义域RRR0，)x|xR，且 x0值域R 0，)R0，)y|yR，且 y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，0，)增增增(，0)减，(0，)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的定义形如 f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数(2)二次函数的三种常见解析式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2n(
2、a0)，(m，n)为顶点坐标；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)其中 x1，x2分别是 f(x)0 的两实根(3)二次函数的图象和性质函数二次函数 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)a0a0，y1y22xm 恒成立，求实数 m 的取值范围审题路线 f(0)1 求 cf(x1)f(x)2x 比较系数求 a，b构造函数 g(x)f(x)2xm求 g(x)min由 g(x)min0 可求 m 的范围解 (1)由 f(0)1，得 c1.f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，Error!Error!Erro
3、r!Error!因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0即可g(x)x23x1m 在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10 得，m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析.【训练 3】 (2014盐城检测)设二次函数 f(x)a
4、x2bxc(a0)在区间2,2上的最大值、最小值分别是 M，m，集合 Ax|f(x)x(1)若 A1,2，且 f(0)2，求 M 和 m 的值；(2)若 A1，且 a1，记 g(a)Mm，求 g(a)的最小值解 (1)由 f(0)2 可知 c2.又 A1,2，故 1,2 是方程 ax2(b1)x20 的两实根所以Error!Error!解得 a1，b2.所以 f(x)x22x2(x1)21，x2,2当 x1 时，f(x)minf(1)1，即 m1.当 x2 时，f(x)maxf(2)10，即 M10.(2)由题意知，方程 ax2(b1)xc0 有两相等实根 x1.所以Error!Error!即
5、Error!Error!所以 f(x)ax2(12a)xa，x2,2，其对称轴方程为 x1.又2a12a12aa1，故 1.12a12，1)所以 Mf(2)9a2.mf1.(2a12a)14ag(a)Mm9a1.又 g(a)在区间1，)上单调递增，所以当 a1 时，14ag(a)min.3141对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x1，y1，yx 分区域根据 0,01，1，1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定2二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想3对于与二次函数有关
6、的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用 答题模板 2二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12 分)(经典题)求函数 f(x)x(xa)在 x1,1上的最大值规范解答 函数 f(x)2的图象的对称轴为 x ，应分(xa2)a24a21，1 1， 1，即 a2，2a2 和 a2 三种情形讨论(2a2a2a2分)(1)当 a2 时，由图(1)可知 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)1a；(5 分)(2)当2a2 时，由图(2)可知 f(x)在1,1上的最大值为 f；(8 分)(a2)a24(3)当 a2 时，由图(3)可知 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)a1.(11 分)综上
7、可知，f(x)maxError!Error!(12 分)反思感悟 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论(2)部分学生易出现两点错误：找不到分类的标准，无从入手；书写格式不规范，漏掉结论 f(x)maxError!Error!答题模板 第一步：配方，求对称轴. 第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论. 第三步：求最值. 第四步：下结论.【自主体验】已知函数 f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有一个最大值5，求 a 的值解 f(x)424a，
8、对称轴为 x ，顶点为.(xa2)a2(a2，4a)当 1，即 a2 时，f(x)在区间0,1上递增a2ymaxf(1)4a2.令4a25，a12(舍去)当 0 1，即 0a2 时，a2ymaxf4a，令4a5，a (0,2)(a2)54当 0，即 a0 时，f(x)在区间0,1上递减，a2此时 f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25，即 a24a50，a5 或 a1(舍去)综上所述，a 或 a5. 54基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是_(2，14)解析 设幂函数 yx，则 2 ，解得 2，所以 yx2，故函数 yx214的单调递增区
9、间是(，0)答案 (，0)2(2013浙江七校模拟)二次函数 yx24xt 图象的顶点在 x 轴上，则 t 的值是_解析 二次函数图象的顶点在 x 轴上，所以 424(1)t0，解得t4.答案 43(2014扬州检测)若函数 f(x)x2axb 的图象与 x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数 f(x)的单调递增区间为_解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为 x2，又二次项系数为 10，所以f(x)在(，2上是递减的，在2，)上是递增的答案 2，)4若 a0，则 0.5a,5a,5a的大小关系是_解析 5aa，因为 a0 时，函数 yxa单调递减，且 0.55，所以(15)155a0.5
10、a5a.答案 5a0.5a5a5(2014南阳一中月考)函数 f(x)loga (6ax)在0,2上为减函数，则 a 的取值范围是_解析 若 0a1，则 f(x)不可能为减函数，当 a1 时，由函数(f)xloga(6ax)在0,2上为减函数，知 6ax0 在0,2恒成立，等价于(6ax)min0，即 62a0，得 a3，所以 a 的取值范围是(1,3)答案 (1,3)6二次函数 yf(x)满足 f(3x)f(3x)(xR)，且 f(x)0 有两个实根x1，x2，则 x1x2_.解析 由 f(3x)f(3x)，知函数 yf(x)的图象关于直线 x3 对称，应有3x1x26.x1x22答案 67
11、(2014苏州检测)已知函数 yx24ax 在区间1,3上单调递减，则实数 a 的取值范围是_解析 根据题意，得对称轴 x2a1，所以 a .12答案 (，128已知函数 f(x)Error!Error!若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数 k的取值范围是_解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点作出函数 f(x)的图象，如图，由图象可知，当 0k1 时，函数 f(x)与 yk 的图象有两个不同的交点，所以所求实数 k 的取值范围是(0,1)答案 (0,1)二、解答题9已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且 f(x)2x 的解集为x|1x3，方程
12、 f(x)6a0 有两相等实根，求 f(x)的解析式解 设 f(x)2xa(x1)(x3) (a0)，则 f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，即(5a1)(a1)0，解得 a 或 a1(舍去)15因此 f(x)的解析式为 f(x) x2 x .15653510设函数 yx22x，x2，a，求函数的最小值 g(a)解 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1，而 x1 不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1 时，函数在2，a上单调递减，则当 xa 时，ymina22a；当 a1 时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当
13、x1 时，ymin1.综上，g(a)Error!Error!能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、填空题1(2014江门、佛山模拟)已知幂函数 f(x)x，当 x1 时，恒有 f(x)x，则 的取值范围是_解析 当 x1 时，恒有 f(x)x，即当 x1 时，函数 f(x)x的图象在 yx 的图象的下方，作出幂函数 f(x)x在第一象限的图象，由图象可知 1 时满足题意答案 (，1)2(2014衡水中学二调)设集合 A，集合 Bx|x22x30.若 AB 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围x|x22ax1 0，a0是_解析 A，因为函数 yf(x)x|x22x30x|x1，或x3x22ax1 的对称轴为 xa0，f(0)10，根据对称性可知要使 AB中恰含有一个整数，则这个整数解为 2，所以有 f(2)0 且 f(3)0，即Error!Error!所以Error!Error!即 a .3443答案 ， )34433已知函数 f(x)，给出下列四个命题：若 x1，则 f(x)1；若 0x1x2，则 f(x2)f(x1)x2x1；若 0x1x2，则 x2f(x1)x1f(x2)；若 0x1x2，则f.fx1fx22(x1x22)其中，所有正确命题的序号是_解析 对于：y在(0，)上为增函数，当 x1 时，f(x)f(1)1，正确；对于：取 x
