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1、第 7 讲 函数的图象及其应用知 识 梳 理1函数的图象及作法函数的图象Error!Error!2图象变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)yf(x)；关于x轴对称yf(x)yf(x)；关于y轴对称yf(x)yf(x)；关于原点对称yax(a0 且 a1)ylogax(a0 且 a1)关于yx对称(3)翻折变换yf(x)保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|.yf(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象yf(|x|)(4)伸缩变换yf(x)纵坐标伸长a1或缩短0a1为原来的a倍，横坐标不变yaf(x)(a0)yf(x)横坐标伸长0a1或缩短a1为原来的1a倍，纵坐标不
2、变yf(ax)(a0)辨 析 感 悟1图象变换问题(1)为了得到函数 ylg的图象，只需把函数 ylg x 的图象上所有的点向左x310平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度()(2)若函数 yf(x)满足 f(x1)f(x1)，则函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称()(3)当 x(0，)时，函数 y|f(x)|与 yf(|x|)的图象相同()(4)函数 y2|x1|的图象关于直线 x1 对称()(5)将函数 yf(x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 yf(x1)的图象()2图象应用问题(6)(2013汉中模拟改编)方程|x|cos x 在(，)内有且仅有两个根()(7)(
3、2013洛阳调研改编)二次函数 yax2bxc(a0)的图象如图所示，则点 P所在的象限为第二象限()(a，cb)感悟提升三个防范 一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量如(5)；二是注意含绝对值符号的函数的对称性，如yf(|x|)与 y|f(x)|的图象是不同的，如(3)；三是混淆条件“f(x1)f(x1)”与“f(x1)f(1x)”的区别，前者告诉周期为 2，后者告诉图象关于直线 x1 对称，如(2).考点一 作函数的图象【例 1】 分别画出下列函数的图象(1)y|x24x3|；(2)y；(3)y10|lg x|.2x1x1解 (1)先画函数 yx2
4、4x3 的图象，再将其 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，如图(1)(2)y2，2x1x12x11x11x1可由函数 y 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，如图(2)1x(3)y10|lg x|Error!Error!如图(3)规律方法 (1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程【训练 1】 定义：若函数f(x)的图象经过变换 T 后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换 T 是 f(x)的同值变换，下面给
5、出了四个函数与对应的变换：f(x)(x1)2，T：将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称；f(x)2x11，T：将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称；f(x)，T：将函数 f(x)的图象关于点(1,1)对称xx1其中 T 是 f(x)的同值变换的有_(写出所有符合题意的序号)解析 对于：f(x)值域为0，)，经变换 T 后 f(x)(x1)2，值域也是0，)对于：f(x)的值域为(1，)，经变换 T 后 f(x)12x1，值域为(，1)对于：f(x)1，其图象关于点(1,1)对称，因此经变换 T 后值域不1x1变答案 考点二 函数图象的变换【例 2】 函数 f(x)则 yf(1x)的图象是_
6、解析 画出 yf(x)的图象，再作其关于 y 轴对称的图象，得到 yf(x)的图象，再将所得图象向右平移 1 个单位，得到 yf(x1)f(x1)的图象答案 规律方法 作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状【训练 2】 (2013江南十校联考)函数 ylog2(|x|1)的图象大致是_解析 当 x0 时，ylog2(x1)，先画出 ylog2x 的图象，再将图象向左平移1 个单位，最后作出关于 y 轴对称的图象，得与之相符的图象为.答案 考点三 函数图象的应用【例 3】 (1)已知函数 yf(x)的周期为 2，当 x1,1时
7、，f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数 y|lg x|的图象的交点共有_个(2)直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a 的取值范围是_审题路线 (1)画出 x1,1时，f(x)x2的图象根据周期为 2 画出x(1，)时的函数图象画出函数 y|lg x|的图象观察注意x10时的情形图象，得出交点个数解析 (1)画出两个函数图象可看出交点有 10 个(2)yError!Error!作出图象，如图所示此曲线与 y 轴交于(0，a)点，最小值为 a ，要使 y1 与其有四个交点，只需14a 1a，1a .1454答案 (1)10 (2)(1，54)规律方法 (1)曲线交点、函数
8、零点、方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数利用此法也可由解的个数求参数值或范围(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等都是函数图象的基本应用.【训练 3】 已知函数 f(x)|x24x3|.(1)求函数 f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根解 f(x)Error!Error!作出函数图象如图(1)函数的增区间为1,2，3，)；函数的减区间为(，1，2,3(2)在同一坐标系中作出 yf(x)和 ym 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如
9、图)由图知 0m1，Mm|0m11掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程2识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与 x、y 轴的交点，最高、最低点等)3识图的方法(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；(3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证4研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；5方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决 思想方法 2利用数形结合思想求参数的范围【典例
10、】 已知不等式 x2loga x0，当 x时恒成立，求实数 a 的取值范(0，12)围解 由 x2loga x0，得 x2logax.设 f(x)x2，g(x)logax.由题意知，当 x时，函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方，(0，12)如图，可知Error!Error!即Error!Error!解得a1.116实数 a 的取值范围是.116，1)反思感悟 (1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形(2)当不等式问题不能用代数法求解但其
11、与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解【自主体验】(2014黄冈调研)设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_ .解析 如图，要使 f(x)g(x)恒成立，则a1，a1.答案 1，)基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1把函数 f(x)(x2)22 的图象向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得图象对应的函数解析式是_解析 把函数 f(x)(x2)22 的图象向左平移 1 个单位长度，得 y(x1)222(x1)22，再向上平移 1 个单位长度，得
12、 y(x1)221(x1)23.答案 y(x1)232函数 f(x)的图象的对称中心为_x1x解析 f(x)1 ，故 f(x)的对称中心为(0,1)x1x1x答案 (0,1)3已知 f(x)x，若 f(x)的图象关于直线 x1 对称的图象对应的函数为 g(x)，(13)则 g(x)的表达式为_解析 在函数 g(x)的图象上任取一点(x，y)，这一点关于 x1 的对称点为(x0，y0)，则Error!Error!y2x3x2.(13)答案 g(x)3x24函数 y(x1)31 的图象的对称中心是_解析 yx3的图象的对称中心是(0,0)，将 yx3的图象向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单
13、位，即得 y(x1)31 的图象，所以对称中心为(1,1)答案 (1,1)5.设奇函数 f(x)的定义域为5,5若当 x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)0 的解集是_解析 利用函数 f(x)的图象关于原点对称f(x)0 的解集为(2,0)(2,5)答案 (2,0)(2,5)6若函数 f(x)在区间2,3上是增函数，则函数 f(x5)的单调递增区间是_解析 f(x5)的图象是 f(x)的图象向左平移 5 个单位得到的f(x5)的递增区间就是2,3向左平移 5 个单位得到的区间7，2答案 7，27若方程|ax|xa(a0)有两个解，则 a 的取值范围是_解析 画出 y|ax|与 yxa 的图象，如图只需 a1.答案 (1，)8(2013泰州模拟)已知函数 f(x)Error!Error!且关于 x 的方程 f(x)a0 有两个实根，则实数 a 的范围是_解析 当 x0 时，02x1，所以由图象可知要使方程 f(x)a0 有两个实根，即 f(x)a 有两个交点，所以由图象可知 0a1.答案 (0,1二、解答题
