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1、学案学案 42 空间点、线、面之间的位置关系空间点、线、面之间的位置关系导学目标： 1.理解空间直线、平面位置关系的含义.2.了解可以作为推理依据的公理和定 理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题自主梳理 1平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2：过_的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_过该点的公 共直线 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 Error! (2)异面直线所成的角 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa
2、，bb，把 a与 b所成的_叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角) 范围：_. 3直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况 4平面与平面的位置关系有_、_两种情况 5平行公理 平行于_的两条直线互相平行 6定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ 自我检测 1(2011泉州月考)若直线 a 与 b 是异面直线，直线 b 与 c 是异面直线，则直线 a 与 c 的 位置关系是( ) A相交 B相交或异面 C平行或异面 D平行、相交或异面 2已知 a，b 是异面直线，直线 c直线 a，则 c 与 b( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线
3、 3如图所示，点 P，Q，R，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是( )4(2010全国)直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面 直线 BA1与 AC1所成的角等于( ) A30 B45 C60 D905下列命题： 空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 三角形是平面图形； 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； 垂直于同一直线的两直线平行； 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； 两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是_(填序号
4、)探究点一 平面的基本性质 例 1 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E、F、G 分别在 AB、BC、CD 上，且满足 AEEBCFFB21，CGGD31，过 E、F、G 的平面交 AD 于 H，连接 EH. (1)求 AHHD； (2)求证：EH、FG、BD 三线共点变式迁移 1 如图，E、F、G、H 分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA 上的点，且 EH 与 FG 相交 于点 O. 求证：B、D、O 三点共线探究点二 异面直线所成的角 例 2 (2009全国)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC
5、1所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.34547434 变式迁移 2 (2011淮南月考)在空间四边形 ABCD 中，已知 AD1，BC，且3ADBC，对角线 BD，AC，求 AC 和 BD 所成的角13232转化与化归思想的应用 例 (12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角 线 AC 与 BD 交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成角为 60. (1)求四棱锥的体积； (2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 多角度审题 对(1)只需求出高 PO，易得体积；对(2)可利用定义，
6、过 E 点作 PA 的平行 线，构造三角形再求解 【答题模板】 解 (1)在四棱锥 PABCD 中，PO平面 ABCD，PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，即PBO60，2 分在 RtAOB 中，BOABsin 301，又 POOB，POBOtan 60，3底面菱形的面积 S2 222，12323四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD 22.6 分1333 (2)取 AB 的中点 F，连接 EF，DF，E 为 PB 中点，EFPA，DEF 为异面直线 DE 与 PA 所成角(或其补角)8 分在 RtAOB 中，AOABcos 30，3在 RtPOA 中，PA，EF.662在正三角形
7、 ABD 和正三角形 PDB 中，DFDE，3由余弦定理得 cosDEF10 分DE2EF2DF22DEEF. 32(62)2 322 3 62643 224所以异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为.12 分24【突破思维障碍】 求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面 问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往 将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的 交点或异面线段的端点总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下： (1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条
8、，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶 点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解，异面直线所成角 的范围是(0，90 【易错点剖析】 1求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明2忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值1利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：(1)证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上，有时也可将问题转化为证明三点共线(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线2异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判断两
9、直线不可能在同一平面内(2)反证法：用此方法可以证明两直线是异面直线3求异面直线所成的角的步骤：(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等)作出异面直线的夹角；(2)证明作出的角就是所求的角；(3)利用条件求出这个角；(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( ) A异面 B相交 C平行 D异面或相交 2给出下列命题： 若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 与 的交线，那么 c 至多与 a、
10、b 中的一条相交；若直线 a 与 b 异面，直线 b 与 c 异面，则直线 a 与 c 异面； 一定存在平面 同时和异面直线 a、b 都平行其中正确的命题为( ) A B C D 3(2011宁德月考)如图所示，在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为各边的中点，G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点，将ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的 度数为( ) A90 B60 C45 D0 4(2009全国)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为 AA1的中点， 则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )A. B.
11、C. D.1010153 101035 5(2011三明模拟)正四棱锥 SABCD 的侧棱长为，底面边长为，E 为 SA 的中点，23则异面直线 BE 和 SC 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ABEF；AB 与 CM 所成的角为 60；EF 与 MN 是异面直线；MNCD.则正 确结论的序号是_7(2009四川)如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1的中点，则异面直线 AB1和 BM 所成的角的大小是_ 8如图所示，正四面体 PAB
12、C 中，M 为棱 AB 的中点，则 PA 与 CM 所成角的余弦值为_三、解答题(共 38 分) 9(12 分)(2011温州月考)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点 求证：(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点10(12 分)在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R 分别是棱 CC1，A1D1，A1B1的中 点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长11(14 分)(2011舟山模拟)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 为 AB 的中点 (1)求证：AC平面 BDD1；
13、 (2)求异面直线 BD1与 CE 所成角的余弦值 (3)求点 B 到平面 A1EC 的距离学案学案 42 空间点、线、面之间的位置关系空间点、线、面之间的位置关系自主梳理 1两点 不在一条直线上 一条 2.(1)平行 相交(2)锐角或直角 3.平行 相交 在平面内(0，2 4平行 相交 5.同一条直线 6.相等或互补 自我检测 1D a，c 都与直线 b 异面，并不能确定直线 a，c 的关系2C a，b 是异面直线，直线 c直线 a.因而 cD b，否则，若 cb，则 ab 与已知矛盾，因而 cDb.3C A 中 PQRS；B 中 RSPQ；D 中 RS 和 PQ 相交4C 将直三棱柱 AB
14、CA1B1C1补成如图所示的几何体由已知易知：该几何体为正方体连接 C1D，则 C1DBA1.异面直线 BA1与 AC1所成的角为AC1D(或补角)，在等边AC1D 中，AC1D60.5 课堂活动区 例 1 解题导引 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直 线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理 3 得证(1)解 2，EFAC.AEEBCFFBEF平面 ACD.而 EF平面 EFGH，且平面 EFGH平面 ACDGH，EFGH.而 EFAC，ACGH.3，即 AHHD31.AHHDCGGD(2)证明 EFGH，且 ， ，EFAC13GHAC14EFGH，四边形 EFGH 为梯形令 EHFGP，则 PEH，而 EH平面 ABD，PFG，FG平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，PBD.EH、FG、BD 三线共点变式迁移 1 证明 EAB，HAD，E平面 ABD，H平面 ABD.EH平面 ABD.EHFGO，O平面 ABD.同理可证 O平面 BCD，O平面 ABD平面 BCD，即 OBD，B、D、O 三点共线例 2 解题导引 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤为：(1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的
