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1、第三节三角函数图像与性质对应学生用书 P47正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 kZ).函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR，且 xk ，kZ2值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性Error!Error!Error!Error!为增；Error!Error!Error!Error!为减2k，2k为减；2k，2k为增 为增(k2，k2)对称中心(k，0)(k2，0)(k2，0)对称轴 xk2xk无1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kZ”这一条件试一试1函数 ytan的定义域是(
2、)(4x)A.Error!Error!B.Error!Error!C.Error!Error!D.Error!Error!答案：D2若函数 f(x)cos 2x，则 f(x)的一个递增区间为( )A. B.(4，0)(0，2)C. D.(2，34)(34，)解析：选 B 由 f(x)cos 2x 知递增区间为，kZ，故只有 B 满足k，k21三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如 yAsin(x)(0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)ysin；(2)ysin.(2x4)(42x)2求
3、三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为 yAsin(x)的形式，通过分析 x 的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把 sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决练一练1函数 y|sin x|的一个单调增区间是( )A. B(4，4)(4，34)C. D.(，32)(32，2)解析：选 C 作出函数 y|sin x|的图像观察可知，函数 y|sin x|在上递增(，32)2(2013天津高考)函数 f(x)sin在区间上的最小值为( )(2x4)0，2A1 B22C. D022解析：选 B 由已知 x，得 2x ，所以 sin，故函数0，244，34(2x4)
4、22，1f(x)sin在区间上的最小值为.(2x4)0，422对应学生用书 P48考点一三角函数的定义域与值域1.函数 f(x)3sin在区间上的值域为( )(2x6)0，2A. B.32，3232，3C. D.3 32，3 323 32，3解析：选 B 当 x时，2x ，sin，0，266，56(2x6) 12，1故 3sin，(2x6) 32，3即此时函数 f(x)的值域是.32，32(2014湛江调研)函数 ylg(sin x) 的定义域为_cos x12解析：要使函数有意义必须有Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!(kZ)，2k0，若函数 f(
5、x)sincos在区间上单x2x23，3调递增，则 的取值范围是( )A. B(0，23)(0，32C. D1，)32，)解析：选 B f(x)sin cos sin x，若函数在区间上单调递增，则x2x2123，3 ，即 ，故选 B.T23323(0，322函数 ycos的单调递增区间为_(2x6)解析：函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ.由2k2x 2k，kZ，得 kxk，kZ.671212答案：(kZ)k712，k12考点三三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二
6、者的统一.归纳起来常见的命题角度有：1求三角函数的对称轴或对称中心；2由三角函数的对称性求参数值；3三角函数对称性的应用.角度一 求三角函数的对称轴或对称中心1(2014揭阳一模)当 x 时，函数 f(x)Asin(x)(A0)取得最小值，则函数 yf4( )(34x)A是奇函数且图像关于点对称(2，0)B是偶函数且图像关于点(，0)对称C是奇函数且图像关于直线 x 对称2D是偶函数且图像关于直线 x 对称解析：选 C 当 x 时，函数 f(x)取得最小值，4sin1，2k(kZ)(4)34f(x)AsinAsin.(x2k34)(x34)yfAsin(x)Asin x.(34x)yf是奇函数
7、，且图像关于直线 x 对称(34x)2角度二 由三角函数的对称性求参数值2(1)(2013哈尔滨二模)若 f(x)2sin(x)m，对任意实数 t 都有 ff，(8t)(8t)且 f3，则实数 m 的值等于( )(8)A1 B5C5 或1 D5 或 1解析：选 C 由 ff得，函数的对称轴为 x .故当 x 时，函数取得最大(8t)(8t)88值或最小值，于是有2m3 或 2m3，即 m1 或5.(2)(2014辽宁六校联考)已知 0，函数 f(x)cos的一条对称轴为 x ，一个(x3)3对称中心为点，则 有( )(12，0)A最小值 2 B最大值 2C最小值 1 D最大值 1解析：选 A
8、由题意知 ，T，2，故选 A.312T42角度三 三角函数对称性的应用3.(2013辽宁五校联考)设偶函数 f(x)Asin(x)(A0，0,00)的最小正周期为 ，则 f(x)的单调递增区间为( )(x6)A.(kZ)k3，k56B.(kZ)2k6，2k3C.(kZ)k3，k6D.(kZ)k6，k3解析：选 D 根据已知得，得 2.由不等式 2k 2x 2k (kZ)，解2262得 k xk (kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间是(kZ)63k6，k33函数 ycos的单调减区间为_(42x)解析：由 ycoscos得(42x)(2x4)2k2x 2k(kZ)，4解得 k xk(kZ)
9、858所以函数的单调减区间为(kZ)k8，k58答案：(kZ)k8，k584函数 ytan的图像与 x 轴交点的坐标是_(2x4)解析：由 2x k(kZ)得，4x (kZ)k28函数 ytan的图像与 x 轴交点的坐标是. (2x4)(k28，0)答案：(k28，0)5(2013陕西高考)已知向量 a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数 f(x)(cos x，12)3ab.(1)求 f(x)的最小正周期(2)求 f(x)在上的最大值和最小值0，2解：f(x)( sin x，cos 2x)(cos x，12)3cos xsin x cos 2x312sin 2x cos 2x3212
10、cos sin 2xsin cos 2x66sin.(2x6)(1)f(x)的最小正周期为 T，222即函数 f(x)的最小正周期为 .(2)0x ， 2x .26656由正弦函数的性质，知当 2x ，即 x 时，f(x)取得最大值 1.623当 2x ，即 x0 时，f(x)取得最小值 .6612因此，f(x)在上的最大值是 1，最小值是 .0，212课下提升考能第卷：夯基保分卷1函数 y 的定义域为( )cos x32A.6，6B.，kZk6，k6C.，kZ2k6，2k6DR解析：选 C cos x0，得 cos x，2k x2k ，kZ.3232662(2013洛阳统考)如果函数 y3s
11、in(2x)的图像关于直线 x 对称，则|的最小值6为( )A. B64C. D.32解析：选 A 依题意得，sin1，则 k (kZ)，即 k (kZ)，因(3)326此|的最小值是 ，选 A.63(2014聊城期末)已知函数 f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则3，4 的最小值等于( )A. B2332C2 D3解析：选 B 0， x ，x.3434由已知条件知 ， .32324(2014安徽黄山高三联考)设函数 f(x)cos(2x)sin(2x)，且其图像3(| 0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“ ”的_条件2解析：若 f(x)是奇函数，则 k(kZ)；2当 时，f
12、(x)为奇函数2答案：必要不充分6函数 y2sin1，x的值域为_，并且取最大值时 x 的值为(2x3)0，3_解析：0x ， 2x ，3330sin1，(2x3)12sin11，即值域为1,1；(2x3)且当 sin1，即 x时，y 取最大值(2x3)12答案：1,1 127设 f(x).12sin x(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值解：(1)由 12sin x0，根据正弦函数图像知：定义域为Error!Error!.(2)1sin x1，112sin x3，12sin x0，012sin x3，f(x)的值域为0，3当 x2k，kZ 时，f(x)取
13、得最大值328已知函数 f(x)sin(x)的最小正周期为 .(0 0，函数 f(x)2asin2ab，当 x时，5f(x)1.(2x6)0，2(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)f且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间(x2)解：(1)x，0，22x .66，76sin，(2x6) 12，12asin2a，a(2x6)f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，(2x6)g(x)f(x2)4sin1(2x76)4sin1，(2x6)又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin11，(2x6)sin ，(2x6)122k 2x 2k，kZ，其中当 2k
