材料力学第三四五章

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1、第三章 扭转(torsion),对称扳手拧紧镙帽,工程中承受扭转变形的构件,3.1扭转的概念和实例,汽车传动轴,汽车转向轴,丝锥,特点：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这就是扭转变形。,构件特征：等圆截面直杆圆轴(Circular shaft)。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对 转动，称为扭转角。,3.2 外力偶矩的计算，扭矩(torque)和扭矩图,从动轮,主动轮,从动轮,一、外加力偶矩与功率和转速

2、的关系,已知圆轴受外力偶矩作 用，匀速转动。则,用截面法求内力：,二、扭矩(torque)和扭矩图,扭矩,扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。,截面2-2上的内力：,（+）,扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。,（-）,扭矩图,例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理？,参考课本例题3.1,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,绘出扭矩图：,（-）,扭矩T-图,（+）,（在CA段和AD段）,将A

3、、D轮的位置更换，则,扭矩T图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,3.3 纯剪切(pure shearing),根据变形特点：相邻横截面发生错动，轴向和周向均无变形；说明横截面和纵向截面均无正应力，横截面上只有切应力,一.薄壁圆筒(Thin-walled cylinder)横截面上的剪应力分布,1、各圆周线绕轴有相对转动，但形状、大小及两圆周线间的距离不变。,2、各纵向线仍为直线，但都倾斜了同一角度，原来的小矩形变成同样大小的平行四边形。,横截面上没有正应力。,横截面上必有存在，其方向垂直于圆筒半径。,每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度，故圆筒表面上每个小矩形侧面上的均相等。

4、,:切应变,直角的改变量,实验前: 画纵向线,圆周线;,R0为薄壁圆筒横截面中线的半径，A0为中线所围面积。,薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力均匀分布,方向与半径垂直,指向与扭矩的转向一致.,平衡吗？,二、切应力互等定理,根据力偶平衡理论,在相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，两切应力的数值相等，方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背离其交线。,不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。 因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。 若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态, 相应的单元体

5、称为纯剪切单元体。,问题：根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的应力是否正确。,问题：为什么横截面上的剪应力是沿切向而不是径向？,G ,三、切应变和剪切胡克定律,G:切变模量 （shear modulus）,剪切胡克定律使用范围： 切应力不超过材料的剪切比例极限,思考题：指出下面图形的切应变,2,0,四、剪切应变能密度,变形几何关系,物理关系,静力关系,3.45 圆轴扭转时的应力和变形,T,T,1、实验观察和假设,（1） 轴向线仍为直线,且长度不变；,（2） 横截面仍为平面且与轴线垂直；,（3） 径向线保持为直线,只是绕轴线旋转.,刚性平截面假设圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴右端截

6、面上所绘的径向线保持直线。,即轴横截面象刚性圆盘一样绕轴线作相对转动。,横截面上存在剪应力,不存在正应力.,圆轴,许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆 管扭转时截面的相对扭转角相同。,横截面上的剪应力处处垂直于径向， 且方向同 旋转方向。,横截面上各点剪应力的方向。,2、理论分析,(1)几何分析,小变形条件下,同理,式中 表示扭转角 沿轴长的变化率称为单位 扭转角，在同一截面上， =常数。,(2)物理条件剪切胡克定律,同一圆周上各点切应力 均相同,且其值与 成正比, 与半径垂直.,(3)静力平衡条件,(单位扭转角,单位：rad/m),称为极惯性矩(polar moment of inertia

7、) ，是截面的几何性质，与截面的几何形状、尺寸有关。,在扭矩相同的条件下，,因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的 抗扭刚度(torsional stiffness) 。,（横截面上剪应力的计算公式。）,式中 称为抗扭截面模量(torsion modulus) 。,(4)公式中几何量 与 的计算。,a、实心圆截面,因此,而,b、空心圆截面,D,式中,而,受扭圆轴破坏的标志：,塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。,脆性材料：变形很小，在与轴线约成45的面上断裂。,圆轴的强度条件为,式中,（u为扭转极限应力许用剪应力,n为安全系数）,圆轴扭转的强度条件,

8、当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。,当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时,圆轴扭转的变形和刚度条件,圆轴扭转的刚度条件,或,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,称作许可单位长度扭转角,的数值按照对机器的要求决定：,例题 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性 模量G=80GPa，DB=1. 试求： （1） AD杆的最大切应力;（2）扭转角 CA,解：画扭矩图,计算外力偶矩Me, DB= CB+ DC=1,Tmax= 3Me,（1）AD杆的最大切应力,（2）扭转角 CA,解：,由传

9、动轴的尺寸计算抗扭截面模量：,轴的最大剪应力,例题 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为T=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径D1为？,所以此轴安全。,若此轴改为实心轴，由,式中,解得：,实心轴的横截面面积为,空心轴的横截面面积,空心轴与实心轴的重量之比：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。,采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为,根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用

10、；,从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料 分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比 较大，强度和刚度均可提高；,通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。,对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。,例题 图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, ,。轴的材料为钢，G=80GPa,求 （1）轴的最大剪应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔的孔径d应为多大？,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大剪应力,作扭矩图：,因此,（

11、2）扭转角,截面B：,截面C,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,例题 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的 均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象。,根据平衡条件求得横截面上的扭 矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,因此,圆截面杆的变形能,式中 T圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,变形能计算,受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),整个杆的扭转变形能为,取微段分析：,轴力FN,扭矩T,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,截面的线位移,截面的角位移,n,圆轴扭转时斜截面上的应力,斜截面上的正应力和剪应力为:,1、,讨

12、论：,2、,3、,4、,例题 两端固定的圆截面杆AB受力偶矩作用如图。求：1）作扭矩图；2）若M=10KN.m,材料的=60MPa，试选择此等直圆截面杆直径。,扭转的静不定问题,例题 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩M以后，杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果杆和管的材料不相同，结果又怎样？,解：,（1）静力学关系,（2）变形协调条件,（3）物理关系：,代入变形协调方程，得补充方程,（4）补充方程与静力平衡方程联立，解得,（5）最大剪应力,杆1：,管2：,静不定问题的解法：,（1）建立静力平衡方程；,（2）

13、由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ， 代入变形协调方程，得到补充方程；,（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反力偶或扭矩。,假设里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。图中A、B、C、D所示横截面上的切应力分布，请判断哪一种是正确的。,里、外层交界处具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在交界处的切应力一定大于外层在交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。 在答案（D）中，外层在

14、交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）,所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋角a很小，弹簧丝的直径比弹簧圈直径小得多的弹簧(5,且Dd) 。这样可以略去弹簧丝曲率的影响，将它作为扭转的直杆来处理。,3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,公式修正的原因:（1）当D/d 较小,会引起很大的误差;（2）假定剪切引起的切应力是均匀分布的.,式中,c为弹簧指数,k为曲度系数,可查教材中的表3.1,例题 某柴油机的气阀弹簧,簧圈平均半经R=59.5 mm,簧丝横截面直径d=14mm,有效圈数n=5. 材料的 =

15、350MPa ,G=80GPa, 弹簧工作时总压缩变形（包括预压变形）为l =55mm，试校核弹簧的强度.,解：求出弹簧所受的压力F为,由R及d求出,查表3.1查处弹簧的曲度系数k=1.17,弹簧满足强度要求.,3.7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲 (warping)。,（2）若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则相邻两横截面的翘曲程度不同,这将在横截面上引起附加的正应力. 这一情况称为 约束扭转(constraint torsion).,（1）等直非圆杆在扭转时横截面虽发生翘曲(warping)，但当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，其相邻两横截面的翘曲程度完全相同. 横截面上仍然只有切应力而没有正应力. 这一情况称为纯扭转(pure torsion)，或自由扭转(free torsion).,矩形截面扭转时,横截面切应力非线性分布,边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流.,整个横截面上的最大切应力发生在 长边的中点,角点切应力为零.,短边中点的切应力 是短边上的 最大切应力,且,等直矩形截面轴自由扭转时切应力的分布特点,切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切其数值除在靠近顶点处以外均相等.,狭长矩形,