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1、1,第6章 二维变换及二维观察,提出问题,如何对二维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何方便地实现在显示设备上对二维图形进行观察,2,第6章 二维变换及两维观察,6.1 基本概念 6.1.1 齐次坐标 齐次坐标表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。 齐次坐标的不唯一性 保证唯一性的办法是定义规范化齐次坐标表示 规范化齐次坐标表示就是h=1的齐次坐标表示。 如何从齐次坐标转换到规范化齐次坐标？,二维点x,y的齐次坐标表示为hx,hy,h 12,20,4、6,10,2、3,5,1都是3,5这一点的齐次坐标。,3,6.1.2 几何变换 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变
2、换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。 重点是点的几何变换（是复杂图形变换的基础）。复杂图形的几何变换可以通过变换矩阵对图形的基本元素点、线、面的作用而实现。,几何变换,二维图形变换直观示例,4,6.1.3 二维变换矩阵,二维变换的计算.SWF,从功能上把T2D分成4个子矩阵，T1ab/cd对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换； T2l m对图形进行平移变换；T3P/q对图形作投影变换；T4=s对图形作整体比例变换。,5,6.2 基本几何变换,基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换，如：平移、旋转、缩放、反射和错切等。 6.2.1 平移变换 平移是指将p点沿直线
3、路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。,6,平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-body transformation）,平移变换.SWF,7,Tx，Ty称为平移矢量,推导：矩阵：,平移变换.SWF,8,6.2.2 比例变换,比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。,比例变换.SWF,9,推导：矩阵：,比例变换.SWF,10,比例变换.SWF,11,整体比例变换：,12,6.2.3 旋转变换,二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p的重定位过程。,旋转变换.SWF,1
4、3,推导：原点p(x,y)，极坐标形式为x=rcosa；y=rsina 于是p(x,y)为x=rcos(a+ )=rcosacos-rsinasin =xcos-ysiny=rsin(a+ )=rcosasin+rsinacos =xsin+ycos 矩阵：逆时针旋转角的齐次坐标形式可写为：,顺时针旋转角?（ 变为- 代入，略）,旋转变换.SWF,14,动画连续逼真旋转时，每次变换很小，cos 约为1，sin 约为（ 为弧度） 简化计算,旋转变换.SWF,当然实际系统中还必须考虑误差积累的问题。,15,6.2.4 对称变换,对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。,对称变换.SWF,
5、16,17,(1)关于x轴对称,18,(2)关于y轴对称,19,(3)关于原点对称,20,(4)关于y=x轴对称,21,(5)关于y=-x轴对称,对称变换.SWF,22,6.2.5 错切变换,错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。,错切变换.SWF,23,其变换矩阵为：,(1)沿x方向错切 b=0,如c0，则沿+x 方向错切位移(2)沿y方向错切c=0 ，如b0 则沿+y方向错切位移(3)两个方向错切,错切变换.SWF,24,6.2.6 二维图形几何变换的计算,几何变换均可表示成P=P*T的形式1. 点的变换2. 直线的变换（可通过两端点进行变换，从而改变直线位置和方向，
6、接着）3. 多边形的变换（将变换矩阵作用到每个顶点的坐标位置，并按新的顶点坐标值和当前属性设置来生成新的多边形）4. 曲线的变换（一般可通过变换曲线上的每一点并依据这些点重新画线来完成）,P152,25,6.3 复合变换,复合变换是指： 图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。 复合变换具有形式：,复合变换.SWF,26,6.3.1 二维复合平移两个连续平移是加性的。 6.3.2 二维复合比例连续比例变换是相乘的。 6.3.3 二维复合旋转两个连续旋转是相加的。可写为：,复合比例.SWF,复合平移.SWF,复合旋转变换.S
7、WF,27,6.3.4 其它二维复合变换,将旋转变换进行分解：,结论：旋转变换可以看作是先进行比例变换，再进行一次错切变换，或先进行错切变换，然后再进行一次比例变换的复合变换。,28,6.3.5 相对任一参考点的二维几何变换,相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为：(1) 平移将固定点移至坐标原点(2) 针对原点进行二维几何变换。(3) 反平移将固定点又移回原来的位置。下面看2个例子：,29,例1. 相对点(xF,yF)的旋转变换，其变换矩阵为：,30,例2. 相对点(xF,yF)的比例变换，其变换矩阵为：,31,6.3.6 相对任意方向的二维几何变换,相对任意方向作二维几何
8、变换，其变换的过程是：(1) 先旋转变换使针对变换的方向与坐标轴重合(2) 针对坐标轴进行二维几何变换；(3) 反向旋转以回复到原来的方向。 该过程用变换矩阵形式表示如下：,32,例3. 相对直线y=x的反射变换，其变换矩阵T为：,33,例4. 将正方形ABCO各点沿图6-8所示的(0,0)(1,1)方向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。,34,分析 （1）（0,0）(1,1)方向即x=y方向，于是按针对固定方向的变换形式进行计算。(2) 拉伸，即比例变换，则需求比例系数：Sx=?Sy=?求出即可。,由于已知P=P.T中的P和P，由此可代入进行计算：,35,由于已知P=P.
9、T中的P和P，由此可代入进行计算：,最终解得Sx=2，Sy=1。,36,6.3.7 坐标系之间的变换,问题：,37,分析：,38,可以分两步进行：,39,于是：,40,6.3.8 光栅变换,直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。 光栅平移变换（通过象素块的移动来实现）：,41,90、180和270的光栅旋转变换：,（a）首先将阵列的每一行的象素值颠倒，而后交换其行和列。 （b）通过将象素阵列的每一行中元素的次序颠倒，而后将行的次序颠倒可以得到逆时针旋转180o的光栅图形变换。,42,任意角度的光栅旋转变换：,上图显示了需显示的光栅象素点A的亮度值的计算方法 将象素A的网格区域映射到旋
10、转的象素阵列中可以看到，象素A的亮度由其在旋转象素阵列中区域1，2，3上的覆盖量来决定，即将1，2和3的亮度加权平均即可求得象素A的亮度值，其中权值就是区域A在区域1，2，3上的覆盖量。,43,光栅比例变换：,光栅比例变换同样需要进行象素区域的映射处理。 根据Sx和Sy的大小取出原图中的相应象素区域，对应变换后图像中的一个象素点，将原图中的相应象素区域的象素点的亮度值进行加权平均即可得到变换后象素点的亮度值，其中权值为原图中的相应象素区域在象素点上的覆盖量。 进行光栅放大时，锯齿也将放大，走样会更明显。,44,6.3.9 变换的性质,仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性 平移、比例、旋
11、转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。,二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换：,其中坐标x和 y都是原始坐标x和y的线性函数。,45,二维几何变换具有如下一些性质：,直线的中点不变性； 平行直线不变性； 相交不变性，即两直线相交，交点变换后仍是交点 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性； 比例变化可改变图形的大小和形状； 错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。,46,下面学习二维观察,47,6.4 二维观察,6.4.1 基本概念 在计算机图形学中，将在用户坐标系中需要进行观察和处理的一个坐标
12、区域称为窗口（Window） 将窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视区（Viewport）,48,要将窗口内的图形在视区中显示出来，必须经过将窗口到视区的变换（Window-Viewport Transformation）处理，这种变换就是观察变换（Viewing Transformation）。,49,50,观察坐标系(View Coordinate)和规格化设备坐标系(Normalized Device Coordinate) 观察坐标系是依据窗口的方向和形状在用户坐标平面中定义的直角坐标系。 规格化设备坐标系也是直角坐标系，它是将二维的设备坐标系规格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.
13、0）的坐标范围内形成的。,51,引入了观察坐标系和规格化设备坐标系后，观察变换分为如下图所示的几个步骤，通常称为二维观察流程。,52,变焦距效果,53,整体放缩效果,漫游效果,54,6.4.2 用户坐标系到观察坐标系的变换,用户坐标系到观察坐标系的变换分由两个变换步骤合成：1. 将观察坐标系原点移动到用户坐标系原点,55,2. 绕原点旋转使两坐标系重合,56,6.4.3 窗口到视区的变换,57,要将窗口内的点（xw,yw）映射到相对应的视区内的点（xv,yv）需进行以下步骤：(1) 将窗口左下角点移至用户系统系的坐标原点(2) 针对原点进行比例变换(3) 进行反平移,58,6.5 裁剪,在二维
14、观察中，需要在观察坐标系下对窗口进行裁剪，即只保留窗口内的那部分图形，去掉窗口外的图形。 假设窗口是标准矩形，即边与坐标轴平行的矩形，由上（y=wyt）、下（y=wyb）、左（x=wxl）、右（x=wxr）四条边描述。,59,6.5.1 点的裁剪,60,6.5.2 直线段的裁剪,假定直线段用p1(x1,y1)p2(x2,y2)表示。 直线段和剪裁窗口的可能关系： 完全落在窗口内 完全落在窗口外 与窗口边界相交,61,实交点是直线段与窗口矩形边界的交点。 虚交点则是直线段与窗口矩形边界延长线或直线段的延长线与窗口矩形边界的交点。,62,1. Cohen-Sutherland算法 基本思想：对每条
15、直线段p1(x1,y1)p2(x2,y2)分三种情况处理： (1) 直线段完全可见，“简取”之。 (2) 直线段完全不可见，“简弃”之。 (3) 直线段既不满足“简取”的条件，也不满足“简弃”的条件，需要对直线段按交点进行分段，分段后重复上述处理。,63,编码：对于任一端点(x,y)，根据其坐标所在的区域，赋予一个4位的二进制码D3D2D1D0。 编码规则如下： 若xwxr，则D1=1，否则D1=0； 若ywyt，则D3=1，否则D3=0。,64,裁剪,裁剪一条线段时，先求出端点p1和p2的编码code1和code2，然后：(1)若code1|code2=0，对直线段应简取之。(2)若code
16、1&code20，对直线段可简弃之。(3)若上述两条件均不成立。则需求出直线段与窗口边界的交点。在交点处把线段一分为二，其中必有一段完全在窗口外，可以弃之。再对另一段重复进行上述处理，直到该线段完全被舍弃或者找到位于窗口内的一段线段为止。,65,求交：假定直线的端点坐标为(x1,y1)和(x2,y2) 左、右边界交点的计算： 上、下边界交点的计算：,66,算法的步骤： (1)输入直线段的两端点坐标：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口的四条边界坐标：wyt、wyb、wxl和wxr。 (2)对p1、p2进行编码：点p1的编码为code1，点p2的编码为code2。 (3)若code1|code2=0，对直线段应简取之，转(6)；否则，若code1&code20，对直线段可简弃之，转(7)；当上述两条均不满足时，进行步骤(4)。 (4)确保p1在窗口外部：若p1在窗口内，则交换p1和p2的坐标值和编码。 (5)按左、右、上、下的顺序求出直线段与窗口边界的交点，并用该交点的坐标值替换p1的坐标值。也即在交点s处把线段一分为二，并去掉p1s这一段。考虑到p1是窗口外的一点，因此可以去掉p1s。转(2)。 (6)用直线扫描转换算法画出当前的直线段p1p2。 (7)算法结束。,
