【物理金典力学】第3章平面力系的合成与平衡

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1、第3章 平面力系的合成与平衡,内容提要本章主要介绍了用解析法推出的平面力系平衡条件，以 及平衡条件的应用。实际工程中，作用在构件或结构上的力系是多种多样的。但是， 按照力作用线的分布情况，主要分为两类力系：凡各力的作用线都 在同一平面内的力系称为平面力系；凡各力的作用线不在同一平 面内的力系，称为空间力系。,在实际工程中，有些结构的某一尺寸比其它两个方向的尺 寸小的多或大得多。忽略次要因素后，我们可把这种结构看 成为平面结构。如图所示的挡土墙，考虑到它沿长度方向受 力情况大致相同，通常取1M长度的墙身作为研究对象，它所 受到的重力G、土压力P和地基反力R也都可简化到1M长墙身 的对称面上，组成

2、平面力系。,还有些结构虽然明显不是 受平面力系作用，但如果本 身（包括支座）及其所承受 的荷载有一个共同的对称面， 那么，作用在结构上的力系 就可以简化为在对称面内的 平面力系，例如图所示沿直 线行驶的汽车，车受到的重 力G、空气阻力F以及地面对 左右轮的约束反力的合力RA、 RB，都可简化到汽车的对称 面内，组成平面一般力系。,总之，在工程中，许多结构的力学问题，可以简化为平 面力系的问题来处理。本章将讨论平面力系的简化和平衡 问题。,3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.1.1平面汇交力系的概念和实例,在平面力系中，如果平面汇交力系；平面平行力系；平面一般力系。,、,、,平面汇交力系是力系

3、中最简单的一种，在工程中有很多实例。例如，起重机起吊重物时，作用于吊钩C的三根绳索的拉力 都在同一平面内，且汇交于一点，就组成了平面汇交力系。又如三角支架当不计杆的自重时，作用于铰B上的三个力FN1、FN2、 也组成平面汇交力系。,3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.1.1平面汇交力系的概念和实例,又如图所示的屋架，它通常被看作为由一些在其两端用光 滑圆柱铰互相连接的直杆组成，而且由于各杆的自重比屋架 所承受的各个荷载小很多而可忽略不计，因此每根直杆都在 作用于其两端的两个力的作用下处于平衡。,当以各个铰结点(或称节点)为研究对象时，与结点相连接 的各杆作用于该节点上的力也组成一个平面汇交力

4、系。例如， 图b)就是结点C的受力图，它构成了一个平面汇交力系。,研究平面汇交力系，一方面可以解决一些简单的工程实际问题，另一方面也为研究更复杂的力系打下基础。,平面汇交力系的合成问题可以采用几何法和解析法进行研究。其中，平面汇交力系的几何法具行直观、简捷的优点，但其精确度较差，在力学中用得较多的还是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影的计算为基础。,3.1.2数解法我们在第一章已讨论了力在坐标 轴上的投影规则和方法。现在我们 来讨论平面汇交力系各力投影与汇 交力系合力投影之间的关系。设有一平面汇交力系F1、F2作用 在物体的A点，如图。根据平行四 边形法则可求得该力系的合力 。而,设有一平

5、面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的 点，如图。根据平行四边形法则可求得该力系的合力 。,因此可得,这一关系可推广到任意平面汇交力的情形，即,由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。,（3-4）,注意：式中各分量的正负号选取。 从图中的几何关系可知，合力R的大小和方向可由下式确定：,（3-5）,式中 为合力R与x轴所夹的锐角， 角在哪个象限由和 的正负号来确定。,例3-3 已知作用在刚体上并交于o点的三力均在 平面内， 且 ， ， ， ， 。用数 解法求此平面汇交力系的合力 。 解：,解： 取直角坐标系如图所示。因已知合力R沿y轴向下，故Rx=0

6、，Ry= -R。由式(2-2)知，得,例1 如图所示，已知F1=20kN，F2=40kN，如果三个力F1、F2、F3的合力R沿铅垂向下，试求力F3和R的大小。,又由,【例2】固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力 ，各力的方向如图所示，各力的大小分别为 ， 。试求螺钉作用在墙上的力。 解：要求螺钉作用在墙上的力可先求作用在螺钉上三力合力。,根据力的平衡可知，墙给螺钉的作用力应与 大小相等方向相反。再根据牛顿第三定律可知，螺钉作用在墙上的力 ，方向与 相同。,3.1.3 平面汇交力系平衡条件 从上面可知，平面汇交力系合成的结果是一个合力。显然要物体在平面汇交力系的作用下保持平衡，则该力系的合力应等

7、于零；反之，如果该力系的合力等于零，则物体在该力系的作用下，必然处于平衡。所以，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系的合力等于零。 而根据式（3-5)的第一式可知,上式,与,恒为正数，要使R=0，必须且只须,所以平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。式(3-6)称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个独立的平衡方程可以求解两个未知量。,（3-6）,例3-4 一桁架的结点由四根角钢铆接在连接板上。已知作用 在杆件A和C上的力为 ， ，以及作用在杆 件B和D上的力 ， 作用的方向，该力系汇交于o点。求在 平衡状态下力 ， 的

8、值。 解：以汇交点为坐标原点，建立图示坐标系。,节点：,例3-3 图示一起重构架 的 点装置一个定滑轮。绞车 的钢绳通过滑轮而起吊重物 ，已知 。支架 三处的连接均为铰接，不计滑轮、钢绳、构架的自重及滑轮 轴的摩擦。求起重架 、 杆所受的力 。 解：,为负值，说明 实际方向与图中所设方向相反。,例3 一结构受水平P作用如图a)所示。不计各杆自重，求三根杆AB、BC、CA所受的力。,解 ： 杆AB、BC、CA两端铰接，中间不受力，故三根杆都是二力杆。 先取铰链C为研究对象，假定杆CA、BC都受拉，画出铰C的受力图如图 b)所示。 设直角坐标系如图，列平衡方程,(a),由式(a)、(b)解得,FB

9、C的结果为负值，表示其指向与假设的相反，杆BC应是受压。 再取铰链B为研究对象，假定杆BC、AB受拉，画出铰B的受力图如图2-11c)所示。杆BC是二力杆，故它对两端铰链的作用力，应当是大小相等，方向相反，用FBC表示。,(b),设直角坐标系如图，列平衡方程,原假设杆BC受拉，得,正号表示杆AB受拉。,(c),将其代入式(c)，于是得,通过以上各例的分析，可知用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤一般如下: 1选取研究对象。 2画受力图 约束反力指向未定者应先假设。 3选坐标轴 最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。 4列平衡方程求解未知量 列方程时注意各力的投影的正负号。当求出的未

10、知力为负数时，就表示该力的实际指向与假设的指向相反。,解：选球为研究对象。画出受力图。 为主动力， 为约束力。三力汇交于 点。以球心 为坐标原点，建立图示坐标系。根据平衡条件建立平衡方程。,【例4】重 的球放在与水平成 角的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳 系住。试求绳 受到的拉力及球对斜面的压力。,根据作用与反作用定律，绳子所受拉力为 ；球对斜面的压力为 ，其方向与图中相反。 也可以取沿斜面向上、垂直斜面向上为 轴，则,3.2力线的平移,设有一个力F作用在某刚体的A点，如图所示。若在刚体的B点 加上两个共线、反向、等值的力F和F，且作用线与力F平行 大小与力F的大小相等，并不影响力F对刚体单独

11、作用时产生的 运动效果。进一步分析可以看出，力F与F构成一个力偶，其 力偶矩为而作用在点B的力F，其大小和方向与原力F相同，即相当于把 原来的力F从点A平移到点B。,于是，得到力的平移定理：作用于物体上的力F，可以平移到同一物体上的任一点B，同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对于新作用点B的矩。,3.3平面一般力系的合成,3.3.1 简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F1、F2、Fn。为了将这 力系简化，在其作用面内取任意一点，根据力的平移定理， 将力系中各力都平移到O点，就得到两个基本力系 F1 、F2、Fn和M1、M2、Mn。,平面汇交力系可合成为作用在O点的一个力，附加的平面

12、力偶系可合成为一个力偶。任选的O 点，称为简化中心。,平面一般力系向平面内任一点简化，可以简化为作用于简化中心的一个力和一个力偶。,3.3.2 主矢和主矩平面一般力系简化为作用于简化中心的一个力和一个力 偶。这个力RO称为原力系的主矢，这个力偶的力偶矩MO， 称为原力系对简化中心的主矩。,求主矢RO的大小和方向，可应用数解法。通过点取直 角坐标系xoy。,主矢RO在x轴和y轴上的投影为得主矢RO的大小和方向为,为主矢RO与x轴所夹的锐角，RO指向由Fx和Fy的正负号 确定。由平面力偶系的合成知，主矩为,讨论：1、 主矢等于原力系各力的矢量和，它与简化中心的选择 无关。一般情况下主矢不是原力系的

13、合力。2、主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，与 简化中心的选择有关。这是因为取不同的点为简化中心，各 力的力臂将会改变，则各力对简化中心的矩也会改变，从而 导致主矩的改变。所以对于主矩，必须标明力系对于哪一点 的主矩。3、主矢描述原力系对物体的平移作用，主矩描述原力系 对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和代表原力系 对物体的作用。因此，单独的主矢R或主矩M并不与原力 系等效，而主矢R与主矩M二者的共同作用才与原力系等 效。,4、几种特殊情况 ， 。原力系向 简化后为一个力 ， 是原力 系的合力 。 ， 。原力系向 简化后为一力偶 ，则原力 系无合力只有合力偶矩 。 ， 。原力系

14、是平衡力系。,3.4平面一般力系的平衡的方程和应用,平面一般力系向任一点A简化后，如果得到的主矢量 和 主矩MA。如果该平面一般力系使物体保持平衡，则必然有 =0，MA=0。反之，如果 =0，MA=0，则说明原力系就 是平衡力系。因此，平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的 主矢以及力系对任一点的主矩均为零，即 =0，MA=0由于故平面一般力系的平衡条件为（3-9）,即，平面一般力系平衡的必要和充分条件也可叙述为：力 系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；力系中 各力对于任一点的力矩的代数和等于零。式（3-9）叫做平面一般力系的平衡方程，称为一矩式 方程组，其中前两个叫做投影方程，后一个叫做力矩方程。 可以把投影方程的含意理解为物体在力系作用下沿坐标轴x 和y方向不可能移动；将力矩方程的含意理解为物体在力系 作用下绕任一矩心均不能转动。当满足平衡方程时，物体既 不能移动，也不能转动，这就保证了物体处于平衡状态。当 物体处于平衡状态时，可应用这三个平衡方程求解三个未知 量。式(3-9)是平面一般力系平衡方程的基本形式。除了这种 形式外，还可将平衡方程表示为二矩式和三矩式。 二矩式 ：（3-10）,