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1、第第 3 3 讲讲 等比数列等比数列 知知 识识 梳理梳理 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数 列，常数q称为等比数列的公比.2.通项公式与前n项和公式通项公式：1 1n nqaa，1a为首项，q为公比 .前n项和公式：当1q时，1naSn当1q时，qqaa qqaSnnn11)1 (11.SMVo3.等比中项如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2.4.等比数列的判定方法定义法：qaann1（Nn，0q是常数）是等比数列； na中项法：22 1nnnaaa(
2、Nn)且0na是等比数列. na5.等比数列的常用性质数列是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列； na在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 na,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq.),(Nmnqaamn mn若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等比数列的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列. na 重重 难难 点点 突突 破破 1.1.重点：重点：理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问 题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质. 2.2.难点：难点：利用等比数
3、列的性质解决实际问题. 3.3.重难点：重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题. 求等比数列的公比、 、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.问题问题 1 1：已知等比数列的前n项和1n npS(p是非零常数),则数列是( ) na naA.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列分析：先由nS求出na，再根据等差、等比数列定义作出判定.解析：1n npS，)2() 1(1 1 nppSSan nnn当, 1p且0p时，是等比数列；当0p时，是等差数列，选 C. na na求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.问题问题
4、 2 2：若实数数列4 , 1321aaa是等比数列，则2a .分析：本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式412 2a，得. 22a解析：4 , 1321aaa是等比数列，412 2a，得. 22a又21, 1aa是等比数列，Raaa122 1,1，22a. 热热 点点 考考 点点 题题 型型 探探 析析考点考点 1 1 等比数列的通项与前等比数列的通项与前 n n 项和项和 题型题型 1 1 已知等比数列的某些项，求某项已知等比数列的某些项，求某项【例例 1】1】已知为等比数列，162, 262aa，则10a na【解题思路解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质【解析解析】方法
5、 1 1：8116224 5 1612 qqaaqaa13122811624 69 110qaqaa方法 2 2：812162264aaq，13122811624 610qaa方法 3 3：为等比数列 na131222162222 6 102 6102aaaaaa【名师指引名师指引】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法.题型题型 2 2 已知前已知前n项和项和nS及其某项，求项数及其某项，求项数. .【例例 2 2】已知nS为等比数列前n项和，93nS，48na，公比2q，则项数 nan . 已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中 间两数
6、之和为36，求这四个数.【解题思路解题思路】利用等比数列的通项公式1 1n nqaa及qqaSnn1)1 (1求出1a及q，代入nS可求项数n；利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数.【解析解析】由93nS，48na，公比2q，得532248293) 12(1 11 naan nn .方法 1：设这四个数分别为dcba,，则 363722cbbabdccab；方法 2：设前2个数分别为ba,，则第43、个数分别为ab3736，则 )37()36()36(22abbabb，解得 1612ba或 481499ba ；方法 3：设第32、个数分别为cb，则第1个数为cb 2，第1个
7、数为bc2，则 20163622cbcbbccb或 463481cb ；方法 4：设第32、个数分别为cb，设第4 , 1个数分别为cacca 22,2；方法 5：设第43、个数分别为dc,，则设第2 , 1个数分别为cd36,37，则 251620)36()37()36(22dccdccdc或.449,463dc【名师指引名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对 提高我们的解题能力大有裨益. 题型题型 3 3 求等比数列前求等比数列前n项和项和【例例 3 3】等比数列, 8 , 4 , 2 , 1中从第 5 项到第 10 项的和.【解题思路解题思路】可以先
8、求出10S，再求出4S，利用410SS求解；也可以先求出5a及10a，由10765,aaaa成等比数列求解.【解析解析】由2, 121aa，得2q，102321)21 ( 11010S，1521)21 ( 144S，.1008410 SS【例例 4 4】已知nS为等比数列前n项和，13233331n na，求nS na【解题思路解题思路】可以先求出na，再根据na的形式特点求解.【解析解析】21 23 31)31 ( 133331132nn n na，nnSn n n21 31)31 ( 3 21 21)3333(2132即.43 21 43nSnn【例例 5 5】已知nS为等比数列前n项和，
9、n nna3) 12(，求nS. na【解题思路解题思路】分析数列通项形式特点，结合等比数列前n项和公式的推导，采用错位相减 法求和.【解析解析】n nna3) 12(n nnS3) 12(35333132，-14323) 12(3)32(3533313nn nnnS-，得14323) 12()3333(232nn nnS63)22(3) 12(31)31 (923111 nnn nn. 33) 1(1n nnS【名师指引名师指引】根据数列通项的形式特点，等比数列求和的常用方法有：公式法、性质法、 分解重组法、错位相减法，即数列求和从“通项”入手. 【新题导练新题导练】1.已知为等比数列，6,
10、 3876321aaaaaa，求131211aaa的值. na【解析解析】设等比数列的公比为q， na6, 3876321aaaaaa，23216545aaaaaaq，131211aaa；2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .【解析解析】设这个常数为x，则xxx100,50,20成等比数列，)100)(20()50(2xxx，解得45x，1741 8520545204550 q.3.已知nS为等比数列 na的前n项和，364,243, 362nSaa，则n ；【解析解析】3, 1243315 1612 qaqaaqaa或3, 11qa，当3
11、, 11qa时，636431)31 ( 1nSnn；当3, 11qa时，nSnn36431) 3(11无整数解.4. (2011(2011 金山中学质检金山中学质检) )已知等比数列 na中，21a ，则其前 3 项的和3S的取值范围是 .【解析解析】等比数列 na中21a 312321111Saaaaqqqq 当公比0q 时，3111123Sqqqq ；当公比0q 时，31111 21Sqqqq ， 3, 13,S 5.已知nS为等比数列前n项和，0na，80nS，65602nS，前n项中的数值最 na大的项为 54，求100S.【解析解析】由0na，80nS，65602nS，知1q，.65
12、601)1 (,801)1 (2 1 21qqaSqqaSnnnn81821122n nnnnqqq SS，1q,又前n项中的数值最大的项为:541 1n nqaa，321qa，. 133, 2100 1001Sqa考点考点 2 2 证明数列是等比数列证明数列是等比数列【例例 6 6】已知数列和 nb满足：1a，432 1naann， na)213() 1(nabnn n，其中为实数，Nn. 对任意实数，证明数列不是等比数列； na 试判断数列 nb是否为等比数列，并证明你的结论.【解题思路解题思路】证明数列不是等比数列，只需举一个反例；证明数列 nb是等比 na数列， 常用：定义法；中项法.
13、【解析解析】 证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有312 2aaa， na即, 094949494)494()332(222矛盾.所以不是等比数列. na 解：因为21) 1( 3) 1()213() 1(11nanabnn nn n)14232() 1(183) 1(1 11 nanann nnnnnbna32)213() 1(321又)18( 11b，所以当)(0,18Nnbn，此时 nb不是等比数列；当)8(,181b时，由上可知)(32, 01 Nnbbbnn n，此时 nb是等比数列. 【名师指引名师指引】等比数列的判定方法：定义法：qaann1（Nn，0q是常数）是等比数列； na中项法：22 1nnnaaa(Nn)且0na是等比数列. na【新题导练新题导练】6 6.已知数列na的首项12 3a ，12 1n n naaa，1,2,3,n 证明：数列11na是等比数列； 【解析解析】 12 1n n naaa， 111111 222nnnna
