《2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题1三角函数第2讲解三角形问题教学案理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题1三角函数第2讲解三角形问题教学案理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2 2 讲讲 解三角形问题解三角形问题题型 1 利用正、余弦定理解三角形(对应学生用书第 5 页)核心知识储备1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a sin Ab sin Bc sin Ca2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等a 2R2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.b2c2a2 2bc3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.1 21 21 2典题试解寻法【典题 1】 (考查解三角形应用举例)如图 21，一辆汽车在一条水平的公
2、路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度CD_m.图 21思路分析 由已知条件及三角形内角和定理可得ACB的值在ABC中，利用正弦定理求得BC在 RtBCD中利用锐角三角函数的定义求得CD的值解析 依题意有AB600，CAB30，2CBA18075105，DBC30，DCCB.ACB45，在ABC中，由，AB sinACBCB sinCAB得，600 sin 45CB sin 30有CB300，2在 RtBCD中，CDCBtan 30100，6则此山的高度CD100 m.6答案
3、 1006【典题 2】 (考查应用正余弦定理解三角形)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.a2 3sin A(1)求 sin Bsin C；(2)若 6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长. 【导学号：07804011】解 (1)由题设得acsin B，即csin B.1 2a2 3sin A1 2a 3sin A由正弦定理得 sin Csin B.1 2sin A 3sin A故 sin Bsin C .2 3(2)由题设及(1)得 cos Bcos Csin Bsin C ，1 2即 cos(BC) .1 2所以BC，故A.2 3 3
4、由题意得bcsin A，a3，所以bc8.1 2a2 3sin A由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.33故ABC的周长为 3.33类题通法1.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一” ，即“统一角、3统一函数、统一结构” ，这是使问题获得解决的突破口.2.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2b2c22bccos A中，有a2c2和ac两项，二者的关系a2c2ac22ac经常用到.3.三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角.注意：要灵
5、活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.对点即时训练1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2ccos A，c2bcos A，则ABC的形状为( )A直角三角形B锐角三角形C等边三角形D等腰直角三角形C C b2ccos A，c2bcos A，b4bcos2A，即 cos A ，或 cos A (舍)1 21 2bc，ABC为等边三角形2如图 22，在ABC中，AB2，cos B ，点D在线段BC上1 3图 22(1)若ADC ，求AD的长；3 4(2)若BD2DC，ACD的面积为，求的值. 43 2s
6、inBAD sinCAD【导学号：07804012】解 (1)在三角形中，cos B ，sin B.1 32 23在ABD中，AB sinADBAD sin B又AB2，ADB，sin B，AD . 42 238 34(2)BD2DC，SABD2SADC，SABC3SADC，又SADC，SABC4.43 22SABCABBCsinABC，BC6.1 2SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD，1 21 2SABD2SADC，2，sinBAD sinCADAC AB在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC，AC4，24.2sinBAD sinCADAC AB2题型强
7、化集训(见专题限时集训 T1、T2、T3、T4、T5、T6、T9、T10、T11、T13)题型 2 2 与三角形有关的最值、范围问题(答题模板)(对应学生用书第 6 页)与三角形有关的最值、范围问题一般涉及三角形的角度(或边长、面积、周长等)的最大、最小问题(2015全国卷 T16、2014全国卷 T16、2013全国卷 T17)典题试解寻法【典题】 (本小题满分 12 分)(2013全国卷)的对边分别为ABC的内角A，B，Ca，b，c，已知.abcos Ccsin B(1)求B；(2)若，求. b2ABC面积的最大值【导学号：07804013】审题指导题眼挖掘关键信息看到ABC的内角A，B，
8、C， 想到ABC.看到abcos Ccsin B， 想到三角形的正弦定理，想到三角恒等变换.看到b2， 想到(1)及余弦定理.看到ABC的面积的最大值， 想到面积公式及不等式放缩.规范解答 (1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 2 分5又，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 4 分ABC由和C(0，)得 sin Bcos B5 分又B(0，)，所以B.6 分 4(2)ABC的面积Sacsin Bac.7 分1 224由已知及余弦定理得 4a2c22accos .8 分 4又，故ac，当且仅当ac时，等号成立.a2c2 2
9、ac42 210 分因此ABC面积的最大值为1.12 分2阅卷者说易错点防范措施忽视三角形内角和定理导致无法求B.熟记三角形内的常见结论，实现角的互化.忽视不等式的变形导致无法解出ac的范围.不等式a2b22ab及ab是应用余弦定理求最值的切(ab 2)2入点，平时应加强训练.类题通法1.求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可.注意题目中的隐含条件，如ABC，0A、B、C，bcabc，三角形中大边对大角等.2.在利用含有a2b2，ab2，ab的关系等式求最值时常借助均
10、值不等式.对点即时训练(2017石家庄一模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.sin C sin Asin Bab ac(1)求角B的大小；(2)点D满足2，且AD3，求 2ac的最大值BDBC解 (1)，由正弦定理可得，sin C sin Asin Bab acc abab acc(ac)(ab)(ab)，即a2c2b2ac.6又a2c2b22accos B，cos B ，1 2B(0，)，B. 3(2)法一：(利用基本不等式求最值)在ABD中，由余弦定理得c2(2a)222accos 32， 3(2ac)2932ac.2ac，(2ac 2)2(2ac)29 (2ac)2
11、，3 4即(2ac)236,2ac6，当且仅当 2ac，即a ，c3 时，2ac取得最大值，3 2最大值为 6.法二：(利用三角函数的性质求最值)在ABD中，由正弦定理知2a sinBAD2，c sinADB3sin 332a2sinBAD，c2sinADB，332ac2sinBAD2sinADB332sinBADsinADB323sinBADsin(2 3BAD)6(32sinBAD12cosBAD)6sin.(BAD 6)BAD，(0，2 3)BAD， 6( 6，56)当BAD，即BAD时，2ac取得最大值，最大值为 6. 6 2 3题型强化集训(见专题限时集训 T7、T8、T12、T14
12、)三年真题| 验收复习效果7(对应学生用书第 7 页)1(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则 cos 41 3A( )AB3 10101010CD10103 1010C C 法一：设ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得SABCaaacsin B，ca.1 21 31 223由余弦定理得b2a2c22accos Ba2a22aaa2，ba.2 923225 953cos A.故选 C.b2c2a2 2bc5 9a22 9a2a22 53a23a1010法二：同方法一得ca.23由正弦定理得 sin Csin A, 又B，sin Csinsin A，即23
13、 4(3 4A)23cos Asin Asin A，tan A3，A为钝角222223又1tan2A，1 cos2Acos2A，1 10cos A.故选 C.10102(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A ，cos C，a1，则b_.4 55 13因为A，C为ABC的内角，且 cos A ，cos C，21 134 55 13所以 sin A ，sin C，3 512 13所以 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 3 55 134 58.12 1363 65又a1，所以由正弦定理得b .asin B sin Asin B sin A63 655 321 133(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_(，) 如图所示，延长BA与CD相交于点6262E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CFB中，FCB30，CFBC2，BF.22222 2 2cos 3062在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE sin 752 sin 30BE .2 1 26 2462AB.62624(20
