《2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案 新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案 新人教a版选修2-1（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.41.4 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.4.11.4.1 全称量词全称量词1.4.21.4.2 存在量词存在量词1.4.31.4.3 含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.(重点)2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定.(重点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)基础初探教材整理 1 全称量词与全称命题阅读教材 P21“思考”以下部分，完成下列问题.1.短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做_，并用符号“_”表示.【答案】 全称量词 2.含有_的命题叫做全称命
2、题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为_.【答案】 全称量词 xM，p(x)给出四个命题：末位数是偶数的整数能被 2 整除；正方形是菱形；任意实数x，|x|0；对于任意实数x,2x1 是奇数.下列说法正确的是( )A.四个命题都是真命题B.有三个真命题C.有两个真命题D.有一个真命题【答案】 C教材整理 2 存在量词与特称命题阅读教材 P22“思考”以下部分P23例 2 以上部分，完成下列问题.1.短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做_，并用符号2“_”表示.【答案】
3、存在量词 2.含有_的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立” ，可用符号简记为“_”.【答案】 存在量词 x0M，p(x0)判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x2x030；2 0(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数.【解】 (1)由于xR R，x22x3(x1)222，因此使x22x30 的实数x不存在.所以特称命题“有一个实数x0，使x2x030”是假命题.2 0(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)
4、由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.教材整理 3 含有一个量词的命题的否定阅读教材 P24“探究”以下部分P25例 4 以上部分，完成下列问题.一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：xM，p(x)，它的否定p：_；特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定p：_.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.【答案】 x0M，p(x0) xM，p(x)命题p：“存在实数m，使方程x2mx10 有实数根” ，则“p”形式的命题是( )A.存在实数m，使方程x2mx10 无实根B.不存在实数m，使方程x2m
5、x10 无实根C.对任意的实数m，方程x2mx10 无实根D.至多有一个实数m，使方程x2mx10 有实根【答案】 C3小组合作型全称命题和特称命题的概念及真假判断指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假.(1)xN,N,2x1 是奇数；(2)存在一个x0R R，使0；1 x01(3)对任意向量a a，|a|a|0；(4)有一个角，使 sin 1. 【导学号：37792025】【精彩点拨】 (1)上述各命题中分别含有什么量词？(2)如何判断它们的真假？【自主解答】 (1)是全称命题，因为xN,N,2x1 都是奇数，所以该命题是真命题.(2)是特称命题.因为不存在x0R R，使0 成
6、立，所以该命题是假命题.1 x01(3)是全称命题.因为|0|0，|a a|0 不都成立，因此，该命题是假命题.(4)是特称命题，因为R R，sin 1,1，所以该命题是假命题.1.判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断.2.全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个特称命题是真命
7、题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题.再练一题1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x20C.两个无理数的和必是无理数4D.存在一个负数x，使 21 x【解析】 A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x0 时，x20，所以 B 既是特称命题又是真命题；C 中因为()0，所以 C 是假命题；D 中对于任一33个负数x，都有 1”的否定是( )A.对任意实数x，都有x1B.不存在实数x，使x1C.对任意实数x，都有x1D.存在实数x，使x1【解析】 命题p“存在实数x
8、，使x1”是特称命题，则p为全称命题：对任意实数x，都有x1.【答案】 C探究共研型全称命题与特称命题的应用探究 已知关于x的不等式x2(2a1)xa220 的解集非空，求实数a的取值范围.【提示】 不等式有解问题是特称命题，只须0 即可.已知命题p：xR,R,9x3xa0，若命题p是假命题，求实数a的取值范围. 【导学号：37792026】【精彩点拨】 p是假命题，即p是真命题，再求a.【自主解答】 由于p是假命题，所以p是真命题，即对任意实数x,9x3xa0 恒成立.设 3xt，由于xR R，则t(0，)，则 9x3xa0a(3x)23xat2t，t(0，)，设f(t)t2t，t(0，)，
9、则f(t) ，(t1 2)21 4当t 时，f(t)min ，1 21 4则函数f(t)的值域是，1 4，)所以实数a的取值范围是.1 4，)应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.62特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在” “是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致
10、矛盾，则否定了假设.再练一题3.若将本例中命题p改为：x0,1，9x3xa0，若命题p是假命题，求实数a的取值范围.【解】 设 3xt，x0,1，t1,3.at2t，t1,3，t2t ，(t1 2)21 4t2t.1 4，6即a的取值范围是.1 4，61.下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )A.存在x0R R，sin x0cos x02B.偶函数图象关于y轴对称C.mR R，x2mx10 无解D.xN N，x3x2【解析】 A，C 中命题是特称命题，故排除.B 为省略量词的全称命题，且为真命题.D为全称命题.当x0 或 1 时，x3x2，故 D 中命题是假命题.【答案】 D2.命题“所有
11、能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被 2 整除的数都是偶数B.所有能被 2 整除的数都不是偶数C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数【解析】 全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在” ，并且将结论进行否定.【答案】 D73.命题p：x0R R，x2x050 是_(填“全称命题”或“特称命题”)，它2 0是_命题(填“真”或“假”)，它的否定为p：_.【解析】 命题p：x0R R，x2x050 是特称命题.因为x22x5(x1)2 0240 恒成立，所以命题p为假命题.命题p的否定为：xR R，x22x50.【答案】 特称命题 假 xR R，x22x504.已知命题p：ax22x10，若对xR R，p是真命题，求实数a的取值范围. 【导学号：37792027】【解】 由题意可得，xR R，ax22x10 恒成立.(1)当a0 时，ax22x12x10，显然不恒成立，不合题意.(2)当a0 时，要使ax22x10 恒成立，则Error!解得a1.综上可知，所求实数a的取值范围是(1，).
