《2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第9章第52讲 抛物线》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第9章第52讲 抛物线(34页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章,圆锥曲线与方程,抛物线,第52讲,求抛物线的标准方程,【例1】 求定点在原点,对称轴为坐标轴,且过点(3,2)的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p.从实际分析,一般需确定p和开口方向两个条件,有时需要相应的讨论,点评,【变式练习1】 求顶点在原点,对称轴为坐标轴,且焦点在直线x2y40上的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程,抛物线的几何性质,【例2】 已知A、B是抛物线y22px(p0)上的两点,且OAOB(O为坐标原点), (1)求证:A、B这两点的横坐标之积为定值,纵坐标之积也是定值; (2)求证:直线AB过定点; (3)求
2、线段AB中点M的轨迹方程,p的规律性结论很多,我们都可围绕定义,同时适时运用点差法即可求得设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为,则,点评,【变式练习2】 设抛物线y22px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴证明:直线AC经过原点O.,抛物线的应用,【例3】 已知点A(1,0),F(1,0)和抛物线C:y24x,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点,直线MF交抛物线C于另一点Q,如图,【变式练习3】 如图,设抛物线方程为x22py(p0),M为直线y2p上任意一点
3、,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;,1.已知边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,ABx轴则以O为顶点且过A、B两点的抛物线方程是 _,2.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等,则P的轨迹方程为_,y28x,3.已知点P在抛物线y24x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为_,4.已知点P(3,2)在抛物线y24x的内部,F是抛物线的焦点,在抛物线上求一点M,使|MP|MF|最小,并求此最小值,【解析】过M作准线l的垂线MA,垂足为A,则由抛物线的定义有|MF|MA|.所以|M
4、P|MF|MP|MA|,显然当P,M,A三点共线时,|MP|MF|最小 此时,M点的坐标为(1,2),最小值为4.,5.如图,抛物线关于x轴对称, 它的顶点在坐标原点,点P(1, 2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在 抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其焦点坐标; (2)当直线PA与直线PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1y2的值及直线AB的斜率,【解析】(1)由已知条件可设抛物线的方程为y22px(p0) 因为点P(1,2)在抛物线上,所以222p1,得p2. 故所求抛物线的方程是y24x,焦点坐标为(1,0) (2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,,1由于坐标
5、系建立时,设坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的标准方程有四种形式,这四种标准方程的区别与联系在于: (1)p的几何意义:焦参数p是焦点到准线的距离,所以p恒为正数,(2)方程右边一次项的变量与所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线开口方向、焦点的非零坐标是一次项系数的1/4. (3)在利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”,即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换,(2)求抛物线的标准方程,需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值当根据已知条件不能判断是抛物线时,用轨迹法过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径较简单 (3)要重视抛物线定义的应用,“回归定义”有时使问题变得简捷明确利用坐标法求曲线方程并研究其性质,体现了解析几何研究数学问题的数学思想方法,