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1、小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0101 比较分数的大小比较分数的大小同学们从一开始接触数学,就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法 比较简单,而比较分数的大小就不那么简单了,因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数,有分母相同,分子相同以及分子、分母都不相同三种情况, 其中前两种情况判别大小的方法是:分母相同的两个分数,分子大的那个分数比较大;分母相同的两个分数,分子大的那个分数比较大;分子相同的两个分数,分母大的那个分数比较小。分子相同的两个分数,分母大的那个分数比较小。第三种情况,即分子、分母都不同的两个分数,通常是采用通分的方法,使它们的 分母相同,化为第一种情况
2、,再比较大小。由于要比较的分数千差万别,所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另 外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大,而分子的最小公倍数比较小时,可以 把它们化成同分子的分数,再比较大小,这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”,那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用,因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便,就 要看具体情况了。3.先约分,后比较。有时已知分数不是最简分数,可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母(子)大的分数较大;若两个假分 数的分子与分母
3、的差相等,则分母(子)小的分数较大。也就是说,6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况:(1)对于分数 m 和 n,若 mk,kn,则 mn。(2)对于分数 m 和 n,若 m-kn-k,则 mn。前一个差比较小,所以 mn。(3)对于分数 m 和 n,若 k-mk-n,则 mn。注意,(2)与(3)的差别在于,(2)中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和 n;(3)中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。(4)把两个已知分数的分母、分子分别相加,得到一个新分数。新分数一定介于两 个已知分数之间,即比其中一个分数大,比另一个分数小。利用这一点,当两个已知分数不容易比较大小,新分数与
4、其中一个已知分数容易比 较大小时,就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多,同学们可以在学习中不断发现总结,但无论哪种方 法,均来源于:“分母相同,分子大的分数大;分子相同,分母小的分数大”这一基本方法。练习练习 1 11.比较下列各组分数的大小:答案与提示练习练习 1 1小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0202 巧求分数巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目,例如分子或分母加、减某 数,或分子与分母同时加、减某数,或分子、分母分别加、减不同的数,得到一个新分数, 求加、减的数,或求原来的分数。这类题目变化很多,因此解法也不尽相同。数。分析:若把这个分数的分子、
5、分母调换位置,原题中的分母加、减 1 就变成分子加、 减 1,这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数,再求倒数即可。个分数。分析与解:分析与解:因为加上和减去的数不同,所以不能用求平均数的方法求解。,这个分数是多少?分析与解:分析与解:如果把这个分数的分子与分母调换位置,问题就变为:这个分数是多少?于是与例 3 类似,可以求出在例 1例 4 中,两次改变的都是分子,或都是分母,如果分子、分母同时变化, 那么会怎样呢?数 a。分析与解:分析与解:分子减去 a,分母加上 a,(约分前)分子与分母之和不变,等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8,所以
6、分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数,得到的新分数如果不约分,那么差还是 45,新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23,分母增加 19 后得到一个新分数,分子与分母的和是 1+5=6,是由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得到分析与解:分析与解:分子加 10,等于分子增加了 105=2(倍),为保持分数的大小不变, 分母也应增加相同的倍数,所以分母应加82=16。在例 8 中,分母应加的数是在例 9 中,分子应加的数是由此,我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式:分子应加(减)的数=分母所加(减)的数原分数;分母应加(减)的数=分子所加(减)的
7、数原分数。分析与解:分析与解:这道题的分子、分母分别加、减不同的数,可以说是这类题中最难的, 我们用设未知数列方程的方法解答。(2x+2)3=(x+5)4,6x+6=4x+20,2x=14,x=7。练习练习 2 2是多少? 答案与提示练习练习 2 25.5。解:(53+79)(4+7)=12, a=53-412=5。6.13。解:(67-22)(16-7)=5,75-22=13。解:设分子为 x,根据分母可列方程小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0303 分数运算技巧分数运算技巧对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运 算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题
8、。1.1.凑整法凑整法与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律 (如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运 算得到简化。2.2.约分法约分法3.3.裂项法裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差,并且使中间的分数相互抵消,则能大大简 化运算。例例 7 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数,使这 10 个数的倒数的和等于 1。分析与解:分析与解:这道题看上去比较复杂,要求 10 个分子为 1,而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1,于是做成: 所求的 10 个数是 2,6,12,20,3
9、0,42,56,72,90,10。的 10 和 30,仍是符合题意的解。4.4.代数法代数法5.5.分组法分组法分析与解:分析与解:利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之 和为原式中分母为 220 的分数之和依次为练习练习 3 38.在自然数 160 中找出 8 个不同的数,使这 8 个数的倒数之和等于 1。答案与提示 练习练习 3 31.3。 8.2,6, 8, 12, 20, 30, 42, 56。9.5680。解:从前向后,分子与分母之和等于 2 的有 1 个,等于 3 的有 2 个,等于 4 的有 3 个人一般地,分子与分母之和等于 n 的有(n-1)个。分
10、子与分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+106=5671(个),5671+9=5680(个)。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0505 工程问题一工程问题一顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实,这类题目的内容已 不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:工作量工作量= =工作效率工作效率工作时间,工作时间,工作时间工作时间= =工作量工作量工作效率,工作效率,工作效率工作效率= =工作量工作量工作时间。工作时间。工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数 1 表示,也可工作效率指的是干工作的
11、快慢,其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选 取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。但 在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程,甲队需 100 天完成,乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50 天后,剩下的工程乙队干还需多少天?分析与解:分析与解:以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天,甲的工作效例例 2 2 某项工程,甲单独做需 36 天完成,乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙 两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了 18 天才完成任务。问
12、:甲队干了多 少天?分析:分析:将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干 18 天,后面的工作甲、乙两队合干 需多少天?”这样一来,问题就简单多了。答:甲队干了 12 天。例例 3 3 单独完成某工程,甲队需 10 天,乙队需 15 天,丙队需 20 天。开始三个队一 起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了 6 天完成这一工程。问:甲队实际工作了 几天?分析与解:分析与解:乙、丙两队自始至终工作了 6 天,去掉乙、丙两队 6 天的工作量,剩下 的是甲队干的,所以甲队实际工作了例例 4 4 一批零件,张师傅独做 20 时完成,王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做, 那么完成任务时张师傅比王
13、师傅多做 60 个零件。这批零件共有多少个?分析与解:分析与解:这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间,例例 5 5 一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管 5 时可将空池灌满,单开排 水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池,打开放水管 1 时后又打开排水管,那么再过 多长时间池内将积有半池水?例例 6 6 甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。走完全程甲需 60 分钟,乙需 40 分钟。 出发后 5 分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间 两人相遇?分析:分析:这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、 路程、
14、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回,路上耽误 10 分钟,再加上取东西的 5 分钟,等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下:完成一件工作,甲需 60 分钟,乙需 40 分钟,乙先干 15 分钟后,甲、乙合干还需多少时间?由此看出,这道题应该用工程问题 的解法来解答。答:甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习练习 5 51.某工程甲单独干 10 天完成,乙单独干 15 天完成,他们合干多少天才可完成工程 的一半?2.某工程甲队单独做需 48 天,乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队 干,后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天,将工程做完。求乙队在中间单独工作的
15、天数。3.一条水渠,甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后,剩下的乙队单独又 挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天?则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵?5.修一段公路,甲队独做要用 40 天,乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开 工,结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米?6.蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管需 18 时注满,单开乙管需 24 时注满。如 果要求 12 时注满水池,那么甲、乙两管至少要合开多长时间?7.两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需 8 时,比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示 练习练
16、习 5 52.14 天。3.120 天。4.350 棵。5.6000 米。6.8 时。提示:甲管 12 时都开着,乙管开7.280 千米。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0606 工程问题二工程问题二上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中, 工作效率往往隐藏在题目条件里,这时,只要我们灵活运用基本的分析方法,问题也不难解 决。 例例 1 1 一项工程,如果甲先做 5 天,那么乙接着做 20 天可完成;如果甲先做 20 天, 那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做,那么多少天可以完成?分析与解:分析与解:本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出示意 图:从上图可直观地看出:甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等,即甲 5 天的工作 量等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换题中“甲工作 5 天”这一条件, 通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24(天)甲、乙合做这一工程,需用的时间为例例