《2016-2017学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：2.1第2课时分数指数幂、无理数指数幂》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：2.1第2课时分数指数幂、无理数指数幂（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 第第 2 2 课时课时 指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算 一、课前准备一、课前准备 1课时目标 理解分数指数幂与无理指数幂的意义，会用幂的运算法则进行有关运算.分数指数幂的运算 是考查的重点，要领会运用分数指数幂与根式的相互转化解题.了解所有实数指数幂的意义. 2基础预探、复习回顾 1、指数幂的概念： 叫做的 ，叫做幂的 ，叫做幂的 ， 是正整 n aaann 数时，叫做 ， n a 2、有理指数幂的运算法则： ； ； mn a a n m a ； ； m n a a m ab n n a aaa 个 3、根数的性质 （） ；()n n a1,nnN (1,) (1,) nn
2、nnnN a nnnN 为奇数且 为偶数且 分数指数幂 ； 1 n a (0,)anN ； m n a(0,) m amNnN n 且为既约分数 第 2 页 ； m n a (0,) m amNnN n 且为既约分数 二、基本知识习题化二、基本知识习题化 1、计算的结果是（ ） 1 2 2 2 A、 B、 C、 D、22 2 2 2 2 2、在定义正分数指数幂时，约定底数，是因为公式：及中（ 0a 1 n n aa m nm n aa ） A、对不成立 B、对无意义0a 0a C、是偶数时，对无意义 D、是奇数时，对不成立n0a n0a 3、以下化简结果中错误的是（ ） A、 B、 211 5
3、315 1aaa 3 2 96 )( ba 2 6946 3 ()aaab C、( 122111 333424 ( 22)(3)( 4)24xyxyxyy D、 113 324 115 324 153 5 25 abc ac abc 4、下列个式；（各式的）中， 2 4 ( 4) n 21 4 ( 4) n 54 a 54 a,nN aR 有意义的是（ ） A、 B、 C、D、 三、学习引领三、学习引领 第 3 页 1、正整数指数幂的运算性质： （1）同底数幂相乘、底数不变，指数相加. 即：（都是正整数） ； mnm n aaamn、 （2）幂的乘方，底数不变，指数相乘. 即： （m、n 都是
4、正整数） ； mn a m n （a ） （3）积的乘方、等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：（是正整数） ； n nn aba b n （4）同底数幂相除、底数不变，指数相减. 即： （是正整数，） ； mnm n aaa 0,am n mn （5）分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方. 即：（是正整数）. n n n aa bb n 2、指数幂的运算 对正整数指数幂，在上述的性质中，如果，即是，而显然nm 0nmn m aaaa ，所以规定，是在幂的指数运算中产生的一种写法，并且这种规定是1 nn aa 0 1a 0 a 合情合理的. 有了这种规定，则，所以，这一规定也是
5、自然的，如果没 0 1 nn aaa n n a a 1 有这一规定，将会导致幂的运算中指数产生混乱. 由于与都是由数学式子中除数而产生的，而除数为 0 无意义，所 0 a n anN n a 以规定与的同时，必须有，即. 0 a n a0 n a 0a 第 4 页 3、指数幂的扩充 分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算，同 0 指数幂、负整数指 数幂一样，负分数指数幂中，即. 1 m n m n a a 0 m n a0a 指数的概念在引入零指数、负整数指数、分数指数后，指数的概念就实现了由整数到 有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为
6、 化简根式带来了很大的方便. 四、典例导析四、典例导析 题型一、指数幂的运算. 例 1、求值 2 3 8； 1 2 25 ； 5 1 ( ) 2 ； 3 4 16 () 81 . 分析：利用分数指数幂的性质运算化简. 解： 22 3 33 8(2 ) 2 3 2 3 224 ； 11 2 22 25(5 ) 1 2 () 1 2 1 55 5 ； 515 1 ( )(2 ) 2 1 ( 5) 232 ； 33 4 () 44 162 ()( ) 813 3 227 ( ) 38 . 点评：掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的. 变式练习： 1、1. 计算： 1 421
7、2 1 (2)( ) 2 4 8 nn n 的结果； 第 5 页 2. 若 310 3,384,aa 1 3 107 3 3 () n a a a 求的值. 题型二、分数指数幂的求值： 例 2、计算下列各式的值 ； 2 0.520 3 71037 (2 )0.1(2)3 92748 48 37 3 0 111 010.25 334 73 (0.0081)3 ( ) 81(3 ) 10 0.027 88 思路导析：对于分数指数幂的运算中，通常采用负化正，大化小，根式化为分数指数 幂，小数化分数，是简化运算的常用技巧. 解：； 21 32 2 25164375917 ()()31003100 90
8、.1274831648 原式 1111 3 ()3( ) 414 3344 33 () 3 13( ) 10 0.3 102 原式 101 1 30 33 总结：在进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为 分数进行计算，便于进行乘、除、乘方、开方等运算，以达到化繁为简的目的. 变式练习 2、求解下列各式的数值： 14 1 030.75 33 2 7 (0.064)()( 2) 160.01 8 2 1 )01 . 0 ( 题型三、分数指数幂的化简： 例 3、 化简下列各式： 第 6 页 3 1331538 3 3 2 7 aaaaaa； 分析：通常先把根式化成分数指数
9、幂的形式，利用分数指数的性质进行合理运算，提 高运算的速度. 解析：原式= 3 2 1 2 3 3 15 3 8 3 2 3 2 7 aaaaaa = 32 3 7 32 aaa= 3 1 2 2 1 3 7 3 2 )()( aaa = 3 2 6 7 3 2 3 2 6 7 3 2 aaaaa = 6 1 3 2 2 1 aa ； 总结（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负 指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底 数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质. （2）根据一般先转化成
10、分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在 将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运 算性质准确求解. 如 8)2()2()2( 2 1 6 2 1 66 . （3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式， 但不能既有根式又有分数指数幂. 变式练习 3、 3 3 3 2 3 3 2 3 1 3 4 )21 ( 24 8 a a b aabb baa . 题型四、幂运算中的综合应用 第 7 页 例 4、已知，求的值 11 22 3aa 33 22 11 22 aa aa 思路导析：对于此类问题，若从已知条件中解出
11、的值，然后再代入求值，显然是不可a 取的，应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值. 11 22 3aa 解：由于， 3311 33 2222 ()()aaaa 所以. 33111111 331 22222222 1 111111 222222 ()()()() 18 aaaaaaaaaa aa aaaaaa 总结：解决此类问题时要注意从整体上把握代数式的结构特点，利用平方差、立方和 （差）等公式在分数指数幂运算中的应用及“整体代换”的技巧、换元的思想. 变式练习： 4、 化简. 11 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 x xx x x xx x 五、随堂练习五、随
12、堂练习 1. 若，且为整数，则下列各式中正确的是（ ）.0a ,m n A. B. m mn n aaa mnmn aaa C. D. n mm n aa 0 1 nn aa 2. 化简的结果是（ ）. 3 2 25 A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算的结果是（ ）. 1 2 2 2 A B D22 2 2 2 2 第 8 页 4. 化简= . 2 3 27 5. 若，则= .102, 104 mn 3 2 10 m n 6.计算下列各式（式中字母都是正数） （1） 211511 336622 (2)( 6)( 3)a ba ba b （2） 31 8 84 ()m n
13、 六、课后作业六、课后作业 1.下列四个算式（其中字母表示不等于 0 的常数）：a2a3=a2-3=a-1=； 1 a x10x10=x10-10=x0=1；5-3=；（0.000 1）0=（10 000）0 3 1 5 1 125 其中正确算式的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2.化简等于( ) 4 4 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 baa bba A. B. C. D. a b b a 2 a b 2 a b 3.化简的值为（ ） 11111 3216842 (12)(12)(12)(12)(12)S A、 B、 C、 D、 1 32 1 )21 ( 2 1 1 1 32 (12) 1 32 12 1 32 1 (12) 2 4.若有意义，则 . 1 4 (1)x x 5.计算 3()2( 3 2 3 ba 25 314 33 (2)3(4)a ba ba b 6.化简下列式子： 第 9 页 ； 112 333 1 22 2 xxx 2 32 a aa 指数与指数幂的运算答案解析指数与指数幂的运算答案解析 一、课前准备一、课前准备 2基础预探、复习回顾 1、次幂，底数，指数，的整数指数幂；na 2、， mnm n a aa n mmn aa m
