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1、1,复变函数 第16讲,2,分式线性映射公式:,3,现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况. 根据前面的讨论可知: (I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域; (II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域; (III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.,4,O,5,解 所设的两个圆弧的交点为-i与i, 且相互正交. 交点-i映射成无穷远点, i映射成原点. 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域, 张角等于p/2.,此点在第三
2、象限的分角线C1上. 由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.,6,映射的角形区如图所示,O,C2,C1,O,u,v,(w),7,例2 求将上半平面Im(z)0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|0映射成|w|0映射成单位圆|w|0映射成单位圆|w|1且满足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式线性映射. 解 由条件w(2i)=0知, 所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0. 所以由(6.3.2)得,因为,故有,14,从而得所求的映射为,15,例4 求将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射.,x,1,y,(z),O,O,u,v
3、,(w),1,a,16,解 设z平面上单位圆|z|1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|1的中心w=0. 这时与,17,由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点, 所以当|z|=1,|w|=1. 将圆周|z|=1上的点z=1代入上式, 得,所以 |k|=1, 即k=eij. 这里j是任意实数.,18,因此, 将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1的分式线性映射的一般表示式是,反之, 形如上式的映射必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|1. 这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq (q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:,同时单位圆|z|1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.
4、5)必将单位圆|z|1映射成单位圆|w|0的分式线性映射. 解 由条件w(1/2)=0知, 所求的映射要将z=1/2 映射成|w|0映射成|w-2i|0映射成|z|1且满足z(2i)=0的映射易知为,22,2i,(z),O,(z),2i,(w),w=2(i+z),23,24,4 几个初等函数所构成的映射,25,1. 幂函数 w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导, 它的导数是,因而当z0时,所以, 在z平面内除去原点外, 由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成了原来的n倍,26,O,(z),q0,O,(w),nq0,w
5、=zn,(z),(w),O,O,上岸,下岸,w=zn,27,例1 求把角形域00. 又从上节的例2知, 映射,28,(z),O,O,(z ),1,(w),z = z4,29,例2 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0arg wj0+a的一个映射.,30,O,(z),1,31,解 先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=, 并使月牙域映射成角形域0argzp;再把这角形域通过映射w=exp(ij0)z转过一角度j0, 即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射. 将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:,其中k为待定
6、的复常数.,32,33,例3 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.,O,u,v,(w),a-h,a,a+h,B,C,D,34,O,u,v,(w),a-h,a,a+h,B,C,D,O,(z1),C,B,D,ih,-h2,C,O,B,D,(z2),C,O,Bh2,D,(z3),O,(z4),C,B,D,-h,+h,z1=z-a,z2=z12,z3=z2+h2,w=z4+a,35,解 不难看出, 解决本题的关键显然是要设法将垂直于x轴的割痕的两侧和x轴之间的夹角展平. 由于映射w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍, 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的
7、目的. 首先, 把上半z平面向左作一个距离为a的平移:z1=z-a. 第二, 再应用映射z2=z12, 便得到一个具有割痕-h2Re(z2)+, Im(z2)=0的z2平面. 第三, 把z2平面向右作一距离为h2的平移: z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的z3平面.,36,37,2. 指数函数 w=ez 由于在z平面内 w=(ez)=ez0 所以, 由w=ez所构成的映射是一个全平面上的共形映射. 设z=x+iy, w=reij, 则 r = ex, j = y, (6.4.2) 由此可知: z平面上的直线x=常数, 被映射成w平面上的圆周r=常数; 而直线y=常数, 被映射成射线j=常
8、数. 带形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特别是带形域0Im(z)2p映射成沿正实轴剪开的w平面:0arg w2p.它们间的点是一一对应的.,38,ai,O,x,y,(z),arg w=a,u,O,v,(w),2pi,O,x,y,(z),O,u,v,(w),w=ez,z=lnw,39,由指数函数w=ez所构成的映射的特点是: 把水平的带形域0Im(z)a(ap)映射成角形域0arg wa. 因此, 如果要把带形域映射成角形域, 常常利用指数函数.,40,例4 求把带形域00. 而根据(6.3.4)又知:,41,例5 求把带形域a0的一个映射. 解 带形域aRe(z)b经过映射,后可映射成带形域00. 因此所求映射为,42,O,(z),a,b,(w),O,pi,(z),O,w=ez,
