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1、学业分层测评学业分层测评( (十十) )11 截面欣赏截面欣赏22 直线与球、平面与球的位置关系直线与球、平面与球的位置关系2.12.1 直线与球的位置关系直线与球的位置关系2.22.2 平面与球的关系平面与球的关系(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1.正方体的表面积是 a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A.B.a3a2C.aD.2a【解析】 设正方体的棱长为 x，则 a6x2，而球半径 Rx，S球324R23x2.a2【答案】 B2.把一个半径为 R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为 12，则其中较小球半径为( )A. RB.R13333C
2、.RD.R325533【解析】 设较小球半径为 r，则另一球半径为 2r， r3 (2r)3 R3，434343r3 R3，rR.19333【答案】 B3.(全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( ) 【导学号：96990046】A.4B.92C.6D.323【解析】 设球的半径为 R，ABC 的内切圆半径为2，R2.又 2R3，R ，Vmax 3 .故选 B.681023243(32)92【答案】 B4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为( )A.235B.234C.
3、358D.469【解析】 设球的半径为 1，则球的外切圆柱的底面半径为 1，高为 2；球的外切等边圆锥的底面半径为，高为 3，所以球的体积为 V1 ，圆柱的体343积为 V21222，圆锥的体积为 V3 ()233，所以133V1V2V3 23469.43【答案】 D5.球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这163 个点的小圆的周长为 4，那么球的半径为( )A.4B.233C.2D.3【答案】 B二、填空题6.平面 与球 O 相交，交线圆圆心为 O1，若 OO13，交线圆半径为 4，则球 O 的半径为_.【解析】 设球 O 的半径为 R，由题意知 R232422
4、5，R5.【答案】 57.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积3是_.【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为 R，则有(2R)2()2()2()29，333外接球的表面积为 S4R29.【答案】 98.如图 217 所示，已知球 O 的面上四点 A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DAABBC，则球 O 的体积等于_.3图 217【解析】 DA平面 ABC，BC平面 ABC，AC平面 ABC，DABC，DAAC.又 BCAB，ABDAA，BC平面 ABD，BCDB，则 DC 的中点即为球心 O.又 DAABBC，3AC
5、，DC3，6球 O 的体积 V球 .43(32)392【答案】 92三、解答题9.已知半径为 R 的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离.【解】 设四个球的球心分别为 O1，O2，O3，O4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为 2R，如图作 O1H面 O2O3O4，垂足为 H，则O1H 为棱锥的高.连接 O4H，则 O4HR.2 33O1HO4为直角三角形，O1HO490，O1HR，2 63从上面一个球的球心到桌面的距离为R.(2 631)10.若正四面体的四个顶点都在表面积为 36 的一个球面上，求这个正四面体的高.【解】 如图，设正四面体边长为
6、x，设球半径为 R.AHx,4R236.33R3，在 RtAHS 中，SH2SA2AH2，SH2x22 x2，(33x)23229，(23xR)(33x)x26SH4，故正四面体的高为 4.能力提升1.半径为 R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为( )A.R B. R12C. RD. R1323【答案】 C2.某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为 2R，高为 20R 的圆柱形筐(有盖也有下底)，用来盛放半径为 R 的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为( )A.12B.13C.24D.26【解析】 设 A，B 为同一层球的球心，C，D
7、为相邻一层的球心，这四个球心 A，B，C，D 的连线刚好构成一个正四面体，相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF(如图所示).易求得 EFR，12.7.220R2R2R共 13 个“间隔” ，即共放了 13 层，13226.该筐最多可放篮球的个数为 26.【答案】 D3.如图 218 所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，则容器内的水深是_.图 218【解析】 由题意，轴截面 PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为r，容器内水的体积就是 VV圆锥V球 (r)23r r3313
8、343r3.53将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面半径为h.33此时容器内水的体积为 V 2h13(33h) h3.由 VV，得 hr.19315即铁球取出后水深为r.3154.在球面上有四点 P，A，B，C，若 PA，PB，PC 两两垂直，且PAPBPCa，求这个球的体积和表面积.【解】 由 PAPB 可知 P，A，B 确定一个平面，设它与球 O 的交线为O1，由于 PAPB，故 AB 是O1的直径，且ABa.AP2BP22PCPA，PCPB，PC平面 PAB.又 OO1平面 PAB，OO1PC.过 OO1，PC 作平面 交球面为大圆 O，设O 与O1的另一个交点为Q，则直线 PQ 是平面 与平面 PAB 的交线，点 O1PQ，连接 CQ，在O 中，PCPQ，CPQ 为直角，CQ 为O 的直径.设O 的半径为 R，即球 O 的半径为 R，在 RtCPQ 中，CQPC2PQ2 a，a2 2a232Ra，3即 Ra，32V球(a)3a3，433232S球4(a)23a2.32
